Binomische Formeln lösen – Tricks und Techniken zu grundlegenden Aufgaben

Florian Thüroff·09.05.2023

In den folgenden Abschnitten erkläre ich dir alles was du wissen musst, um zwei typische Aufgabentypen, die vor allem in der 7. Klasse (aber auch später) relevant sind, sicher zu lösen 🚀!

Und denk immer daran: Mathe meistern erfordert Übung! JEDER kann die Lösungsstrategien, die ich dir in dem Beitrag erkläre, verstehen. Allerdings schafft das NIEMAND ohne ÜBUNG! Aber keine Angst: Mit unserem Aufgabengenerator kannst du dir kostenlos so viele Übungsblätter (mit Lösungen) zu den binomischen Formeln erzeugen, wie du möchtest. Damit kannst du so lange üben, bis du die hier vorgestellten Techniken und Strategien wirklich MEISTERST 💪 !

Voraussetzungen

Binomische Formeln kennen

Du solltest die drei binomischen Formeln kennen und idealerweise verstehen wo die Formeln herkommen.

Falls du einen kurzen Reminder benötigst, findest du hier eine kurze Einführung zu binomischen Formeln zum Distributivgesetz.

Ausklammern

Du solltest wissen, wie man gemeinsame Faktoren aus einer Summe mehrerer Terme ausklammert.

Beispiel: 12a+8b-4c = 4(3a+2b-c)

Binomische Formeln ausmultiplizieren

Hier geht es um die direkte Anwendung der binomischen Formeln “vorwärts”. Diesem einfachsten aller Aufgabentypen wirst du vor allem in der 7. Klasse kurz nach Einführung der binomischen Formeln begegnen. Der Aufgabentyp prüft, ob die Formeln bei dir “sitzen”, d.h. ob du in der Lage bist die Formeln auf konkrete Beispiele anzuwenden.

Die Beispielaufgaben in den nachfolgenden Abschnitten, die ich von leicht nach schwer sortiert habe, führen dich Stück für Stück durch alle Tricks und Techniken die du benötigst, um diesen einfachsten Aufgabentypus zu binomischen Formeln zu lösen.

Und du weißt ja: Im Anschluss daran, ÜBEN nicht vergessen 🚀

Aufgabe 1: Schreibe $(x-3)^2$ ohne Klammer

Hier kannst du die zweite binomische Formel (“Minus-Formel”) $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ direkt anwenden. Alles was du tun musst, ist dir zu überlegen was $a$ und was $b$ ist.
Wenn wir die Terme $(x-3)^2$ und $(a-b)^2$ vergleichen sehen wir, dass $a=x$ und $b=3$ ist. Also:

\begin{aligned} (x-3)^2&=&x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2\\ &=&x^2-6x+9. \end{aligned}

Nicht vergessen: Alle Zahlen die wir ausmultiplizieren können sollen auch ausmultipliziert werden! Das haben wir in der Lösung oben in der zweiten Zeile gemacht 🤓 .

Um quadratische Klammerausdrücke aufzulösen (ohne Klammer zu schreiben), verwendest du die jeweils passende binomische Formel und ersetzt die Buchstaben

a

und

b

in der generellen Lösungsformel einfach durch den ersten und zweiten Term in der Klammer.

Aufgabe 2: Schreibe $(2x+5)^2$ ohne Klammer

Anders als in der Aufgabe zuvor, steht vor dem $x$ im ersten Term der Klammer ein Vorfaktor (die 2). Lass dich davon nicht aus dem Konzept bringen! Die Lösung funktioniert immer noch genau gleich 😅.

Zwischen beiden Terme in der Klammer steht ein Plus, so dass wir die erste binomische Formel (die “Plus-Formel”) brauchen: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ . Jetzt vergleichen wir wieder die Ausdrücke $(a+b)^2$ und $(2x+5)^2$ und finden: $a=2x$ und $b=5$ .
Der Rest ist wieder stur die Formel anwenden 🤓:

\begin{aligned} (2x+5)^2&=&(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot 5+5^2\\ &=&4x^2+20x+25. \end{aligned}

Wie du siehst schleppen wir den Faktor $2$ in $2x$ einfach mit, so als wäre der Vorfaktor untrennbar mit dem $x$ verbunden. Erst ganz am Ende (zweite Zeile der Lösung) multiplizieren wir wieder alle Zahlen aus und erinnern uns dabei an die Regel $(2\cdot x)^2=2^2\cdot x^2=4x^2$ .

Aufgabe 3: Schreibe $(4x-3y)^2$ ohne Klammer

Vorfaktoren können natürlich nicht nur im ersten, sondern auch im zweiten Term der Klammer vorkommen. Aber spätestens jetzt weißt du ja, wie du damit umgehen kannst 😎.
Wir verwenden die zweite binomische Formel (denn zwischen beiden Termin in der Klammer steht ein Minus), vergleichen $(a-b)^2$ mit $(4x-3y)^2$ und finden $a=4x$ und $b=3y$ .
Und damit:

\begin{aligned} (4x-3y)^2&=&(4x)^2-2\cdot(4x)\cdot(3y)+(3y)^2\\ &=&16x^2+24xy+9y^2. \end{aligned}

Wie in der Aufgabe vorher auch schon, schleppen wir die Vorfaktoren Faktor $4$ in $4x$ und $3$ in $3y$ einfach wieder mit. Und ganz am Ende (zweite Zeile der Lösung) multiplizieren wir alle Zahlen aus, wobei $(4\cdot x)^2=4^2\cdot x^2=16x^2$ , $(3\cdot y)^2=3^2\cdot y^2=9y^2$ und $2\cdot(4x)\cdot(3y)=2\cdot4\cdot3\cdot x\cdot y=24xy$ .

Besteht ein Term in der binomischen Formel aus einem Produkt aus zwei (oder mehreren) Faktoren, löst du ZUERST die binomische Formel auf indem du die Faktoren als untrennbare Einheit behandelst. DANACH kannst du das Ergebnis vereinfachen, indem du alle Zahlenwerte multiplizierst.

Aufgabe 4: Schreibe $5(2x+3y)^2$ ohne Klammer

Es ist soweit. Wir sind bei der schwierigsten Teilaufgabe unseres Beispiels angekommen, das aber nach unserer Vorarbeit kein großes Problem mehr darstellt 😎 . Der einzige Unterschied in der Bauart zwischen diesem und dem vorhergehenden Beispiel ist der zusätzliche Faktor $5$ vor der Klammer.

Um die Aufgabe zu lösen lassen wir den Faktor erstmal Faktor sein und lösen zuerst die Klammer mit Hilfe der ersten binomischen Formel auf. Das Vorgehen ist das gleiche wie im vorherigen Abschnitt:

\begin{aligned} 5(2x+3y)^2&=&5[(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot(3y)+(3y)^2]\\ &=&5[4x^2+12xy+9y^2] \end{aligned},

wobei wir den Vorfaktor $5$ zunächst einmal einfach stehen lassen und die binomische Formel in eckigen Klammern nach dem bekannten Rezept auflösen. Sobald wir das gemacht haben, können wir uns ganz einfach um den Vorfaktor kümmern, indem wir die eckige Klammer auflösen, d.h. jeden Term in der eckigen Klammer mit dem Vorfaktor $5$ multiplizieren. Wir finden also:

\begin{aligned}5(2x+3y)^2&=&5[4x^2+12xy+9y^2]\\&=&5\cdot4x^2+5\cdot12xy+5\cdot9y^2\\ &=&20x^2+60xy+45y^2. \end{aligned},

Fertig 🥳 !

Faktoren vor der Klammer einer binomischen Formel kannst du behandeln, indem du ZUERST die binomische Formel (in eckigen Klammern) auflöst und DANACH jeden Term in den eckigen Klammern mit dem Vorfaktor multiplizierst.

Aufgabe 5: Schreibe $(x-2)(x+2)$ und $3(2x+3y)(2x-3y)$ jeweils ohne Klammer

Bis jetzt sind wir in den Beispielen immer nur den ersten beiden binomischen Formeln begegnet. Aber alles was wir bis hier gelernt haben funktioniert genauso gut für die dritte binomische Formel (“Plus-Minus-Formel”)l. Lass uns die letzten beiden Aufgaben noch einmal gemeinsam lösen, um alle Tricks die wir bis jetzt gelernt haben noch einmal Revue passieren zu lassen.

Wir erinnern uns: Die dritte binomische Formel lautet $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . Setzen wir $a=x$ und $b=2$ finden wir:

(x-2)(x+2)=x^2-2^2=x^2-4.

Top 👍. Auf zur nächsten Aufgabe $3(2x+3y)(2x-3y)$ . Wir setzen wieder $a=2x$ und $b=3y$ und lassen den Vorfaktor 3 erstmal wieder Vorfaktor sein:

\begin{aligned} 3(2x+3y)(2x-3y)&=&3[(2x)^2-(3y)^2]\\ &=&3[4x^2-9y^2]. \end{aligned}

Jetzt nur noch die eckige Klammer auflösen, indem wir alle Terme in eckigen Klammern mit 3 multiplizieren …

\begin{aligned} 3(2x+3y)(2x-3y)&=&3[4x^2-9y^2]\\ &=&3\cdot4x^2-3\cdot9y^2\\&=&12x^2-27y^2 \end{aligned}

… und fertig 🥳 !

Mit binomischen Formeln Terme vereinfachen

Der zweite Aufgabentyp zu binomischen Formeln, dem du nicht nur in der Schule immer wieder begegnen wirst, ist die Vereinfachung von Termen mit Hilfe der binomischen Formeln. Dieser Aufgabentyp ist die genaue Umkehrung des Aufgabentyps “binomische Formeln ausmultiplizieren”, den wir im vorhergehenden Abschnitt besprochen haben 🙃 .

Wie vorher auch, werde ich dir in den nachfolgenden Abschnitten anhand von Beispielaufgaben alle Tricks und Techniken beibringen um diesen Typ von Aufgabe sicher zu lösen. Die einzelnen Aufgaben beginnen wieder ganz leicht und werden schrittweise schwieriger.

Und du weißt ja: Nur wer im Anschluss daran SELBST ÜBT wird die Strategien wirklich VERSTEHEN 🚀 !

Aufgabe 1: Vereinfache $x^2-4x+4$ mit Hilfe der passenden binomischen Formel

Um diese Aufgabe zu lösen, d.h. mit Hilfe einer binomischen Formel als quadratischen Klammeraudruck zu schreiben, müssen wir als erstes nach der passenden binomischen Formel suchen. Das geht am besten, indem man die Vorzeichen vor den einzelnen Termen untersucht.

Hier steht vor dem “Mischterm” (dem Term der ein “einfaches” $x$ enthält) ein negatives Vorzeichen, während alle weiteren Vorzeichen (vor den Quadrattermen) positiv sind. Genauso wie in der ZWEITEN binomischen Formel $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ , die ich mit Blick auf unsere Aufgabenstellung direkt “rückwärts” hingeschrieben habe.

Als nächstes untersuchen wir im Ausdruck

x^2-4x+4

die beiden Quadratterme (also $x^2$ und $4$ ). Beide Terme sind bereits perfekte Quadrate: $x^2$ ist das Quadrat von $x$ und $4=2^2$ ist das Quadrat der Zahl $2$ . Bingo! Das heißt wenn wir $a=x$ und $b=2$ verwenden kommen in der zweiten binomischen Formel zumindest die beiden Quadratterme richtig raus. Aber passt auch der Mischterm ( $-4x$ ) 🙄? Lass uns das kurz prüfen: Der Mischterm in der zweiten binomischen Formel ist $-2ab$ . Wenn ich da $a=x$ und $b=2$ einsetze bekomme ich

-2\cdot a\cdot b=-2\cdot x\cdot 2=-4x,

also das richtige Ergebnis!

Insgesamt habe wir also

x^2-4x+4=(x-2)^2

gefunden und die Aufgabe gelöst 🥳 !

Aufgabe 2: Vereinfache $-12x^2-36xy-27y^2$ mit Hilfe der passenden binomischen Formel

Diese Aufgabe ist etwas schwieriger. Als erstes fällt auf, dass alle Terme ein negatives Vorzeichen haben! Aber keine der drei binomischen Formeln hat nur negative Vorzeichen 🙄 ?!

Der Trick ist zuerst eine $-1$ auzuklammern und dann mit dem Term in der Klammer weiterzumachen:

-12x^2-36xy-27y^2=-1\cdot(12x^2+36xy+27y^2).

Besser! In der Klammer bleiben nur positive Vorzeichen: Jetzt kommt nur noch die ERSTE binomische Formel in Frage 😎.

Als nächstes sehen wir uns den ersten Quadratterm, $12x^2$ , an. Dummerweise lässt sich der Term nicht als Quadrat einer “einfachen” (rationalen) Zahl schreiben. Und spätestens ab hier gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Ich zeige dir eine Lösungsstrategie, die du IMMER anwenden kannst.

Dazu multiplizieren wir zuerst ALLE Terme in der Klammer mit der Zahl $1=\frac{12}{12}$ (wobei wir $\frac{12}{12}$ verwenden, weil vor dem ersten Quadratterm eine $12$ steht):

\begin{aligned} -12x^2-36xy-27y^2&=&-1\cdot(12x^2+36xy+27y^2)\\ &=&-1\left(\frac{12}{12}\cdot12x^2+\frac{12}{12}\cdot36xy+\frac{12}{12}\cdot27y^2\right)\\ &=&-12\left(\frac{1}{12}\cdot12x^2+\frac{1}{12}\cdot36xy+\frac{1}{12}\cdot27y^2\right)\\ &=&-12\left(x^2+3xy+\frac{9}{4}y^2\right). \end{aligned}

Mit dem Trick, in der zweiten Zeile jede Zahl mit $1=\frac{12}{12}$ zu multiplizieren, werden wir in der dritten Zeile (wo wir den gemeinsamen Faktor 12 auszuklammern) den Vorfaktor des ersten Quadratterms los 😜! In der vierten Zeile kürzen wir einfach noch alle in der Klammer verbleibenden Brüche.

Der erste Term in der Klammer ist jetzt ein perfektes Quadrat! Aber nicht nur das: Auch der zweite Quadratterm, $\frac{9}{4}y^2=\left(\frac{3}{2}y\right)^2$ ist ein perfektes Quadrat UND der Mischterm ist von der Form $2ab$ , wenn wir $a=x$ und $b=\frac{3}{2}y$ setzen, denn

$2\cdot x\cdot\frac{3}{2}y=3xy$ !

Wir haben also insgesamt gefunden:

-12x^2-36xy-27y^2=-12\left(x-\frac{3}{2}y\right)^2

Du fragst dich jetzt vielleicht, ob der obige Trick (immer die Zahl vor dem ersten Quadratterm ausklammern) immer so schön aufgeht wie hier. Die Antwort: Jein 😋

Wenn du in der 7. Klasse bist, noch nichts von solchen Dingen wie quadratischer Ergänzung gehört hast und die Aufgabenstellung heißt: “Vereinfache anhand der binomischen Formeln”, kannst du davon ausgehen, dass der Trick funktioniert.

Aber auch ganz allgemein kann (und sollte man) den Trick immer anwenden. Es gibt nur KEINE Garantie, dass nach dem Ausklammern des Vorfaktors des ersten Quadratterms der Mischterm tatsächlich die Form $2ab$ annimmt. Wenn das fehlschlägt, benötigst du die quadratische Ergänzung um weiterzukommen. Wenn du die quadratische Ergänzung in der Schule noch nicht durchgenommen hast, hast du dich entweder beim Ausklammern verrechnet, oder die Darstellung als Klammerform einer binomischen Formel ist nicht möglich.

Aufgabe 3: Vereinfache $3x^2-4y^2+2xy-2x^2-2xy$ mit Hilfe der passenden binomischen Formel

Auf den ersten Blick sieht die Aufgabe nicht nach einer der drei binomischen Formel aus. Schließlich würden wir ja zwei (dritte binomische Formel) oder drei Terme (erste und zweite binomische Formel) erwarten. Hier stehen aber fünf Terme 🙄?!

Immer wenn die Zahl der Terme nicht passt, solltest du als erstes prüfen, ob es die Möglichkeit gibt, Terme durch Addition und Subtraktion zusammenzufassen. Also lass uns das als erstes prüfen:

Zuerst suchen wir nach $x^2$ -Termen und finden tatsächlich zwei davon, nämlich $3x^2$ und $-2x^2$ , die wir zusammenfassen zu $3x^2-2x^2=x^2$ , also:

3x^2-4y^2+2xy-2x^2-2xy=x^2-4y^2+2xy-2xy.

Als nächstes suchen wir alle $y^2$ -Terme, finden aber nur einen. Hier können wir also nichts weiter tun.

Als letztes suchen wir noch nach $xy$ -Termen. Und siehe da: Wir finden wieder zwei Terme: $2xy$ und $-2xy$ . Die können wir wieder zusammenfassen zu $2xy-2xy=0$ , also

\begin{aligned} 3x^2-4y^2+2xy-2x^2-2xy&=&x^2-4y^2+2xy-2xy\\ &=&x^2-4y^2. \end{aligned}

Aus fünf mach zwei 😎! Und die letzte Form erinnert ganz stark an die dritte binomische Formel $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ , mit $a=x$ und $b=2y$ ! Wir finden also

3x^2-4y^2+2xy-2x^2-2xy=(x+2y)(x-2y)

und sind fertig 🥳 !

Aufgabe 4: Vereinfache $7x^2-y^2-36xy+5x^2+28y^2$ mit Hilfe der passenden binomischen Formel

Die letzten Aufgabe, die wir gemeinsam durchrechnen, hält keine Überraschungen mehr bereit. Wir haben jetzt alle Lösungsstrategien kennengelernt, die man zur Vereinfachung von Termen mit Hilfe der binomischen Formeln benötigt und können direkt loslegen 🚀!

Um den Ausdruck auf maximal drei Terme zu reduzieren fassen wir wieder alle Terme durch Addition und Subtraktion soweit es geht zusammen. Wir finden zwei $x^2$ -Terme, die wir zu $7x^2+5x^2=12x^2$ zusammenfassen. Wir finden außerdem zwei $y^2$ -Terme, die wir zu $-y^2+28y^2=27y^2$ zusammenfassen. Es gibt nur einen $xy$ -Term der erstmal stehen bleiben kann.

Insgesamt finden wir also

7x^2-y^2-36xy+5x^2+28y^2=12x^2-36xy+27y^2.

Vor dem ersten Quadratterm steht wieder ein Vorfaktor, der sich nicht als Quadrat einer (rationalen) Zahl darstellen lässt. Wir klammern den Term deshalb wieder aus und finden

\begin{aligned} 7x^2-y^2-36xy+5x^2+28y^2&=&12x^2-36xy+27y^2\\ &=&12\left(x^2-3xy+\frac{9}{4}y^2\right). \end{aligned}

Der Ausdruck in Klammern lässt sich jetzt mit Hilfe der ZWEITEN binomischen Formel vereinfachen (der Mischterm $-3xy$ trägt ein negatives Vorzeichen), indem wir $a=x$ und $b=\frac{3}{2}y$ setzen. Insgesamt ergibt sich also

\begin{aligned} 7x^2-y^2-36xy+5x^2+28y^2&=&12\left(x^2-3xy+\frac{9}{4}y^2\right)\\ &=&12\left(x-\frac{3}{2}y\right)^2. \end{aligned}

Fragen und Antworten

Wie viele binomische Formeln unterscheidet man?

Man unterscheidet insgesamt drei binomische Formeln: Die “erste binomische Formel” (auch: “Plus-Formel”)

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

, die “zweite binomische Formel” (auch: Minus-Formel)

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

und die “dritte binomische Formel” (auch: “Plus-Minus-Formel”)

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

. Die drei binomischen Formeln sind Spezialfälle des sogenannten binomischen Lehrsatzes. Wenn du mehr zu binomischen Formeln erfahren möchtest, empfehle ich dir unserenBlogartikel zu binomischen Formeln

Lassen sich alle quadratischen Ausdrücke auf binomische Formeln zurückführen?

Nein, zumindest nicht direkt. Man kann jeden quadratischen Ausdruck geometrisch als Parabel in einem Koordinatensystem darstellen. Wenn man das macht sind nur diejenigen Ausdrücke direkt auf eine der beiden ersten binomischen Formeln zurückführbar, deren Parabeln die die x-Achse in genau einem Punkt berühren (eine sogenannte doppelte Nullstelle). Ausdrücke, die direkt auf die dritte binomische Formel zurückführbar sind, werden durch Parabeln dargestellt, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind und die x-Achse zweimal schneiden. Alle anderen Parabeln bzw. zugehörigen quadratischen Ausdrücke sind auf keine der drei binomischen Formeln direkt zurückführbar.

Kann man Ausdrücke die nicht als binomische Formel darstellbar sind erkennen?

Ein nützlicher Trick, den man anwenden kann, ist auf die Vorzeichen der einzelnen Terme zu achten, nachdem man alle gleichartigen Terme zusammengefasst hat. Sind jetzt nur noch zwei Terme übrig, MÜSSEN diese verschiedenes Vorzeichen haben um auf die dritte binomische Formel zurückgeführt werden zu können. Haben beide Terme das gleiche Vorzeichen ist eine Rückführung auf die binomischen Formeln nicht möglich (außer du arbeitest mit komplexen Zahlen, die wir hier mal außen vor lassen). Sind drei Terme übrig und besitzen die beiden Quadratterme unterschiedliche Vorzeichen, ist der Ausdruck ebenfalls auf keine der binomischen Formeln zurückführbar.

Braucht man die binomischen Formeln auch im echten Leben?

Wie so häufig ist die Antwort auf diese Frage: Kommt darauf an. Ich vermute dass die überwiegende Mehrheit aller erwachsenen Menschen sehr gut durchs Leben kommen, ohne auch nur einen Gedanken an binomische Formeln zu verlieren. Andererseits gibt es eine Menge extrem spannender Berufsfelder (darunter viele Berufe in High-Tech-Branchen), in denen der Umgang mit binomischen Formeln, so wie du ihn hier lernst, vollkommen unverzichtbar sind. Wenn du beispielsweise vor hast als Entwickler in der Tech-Branche einzusteigen, in die Naturwissenschaften zu gehen, im Bankenbereich zu arbeiten, einen Ingenieurberuf zu ergreifen etc., werden dir die binomischen Formeln ein Leben lang als nützlicher Helfer zur Seite stehen!

Mehr zu natürlichen Zahlen

Du suchst detailierte Informationen, wie zum Beispiel alle Teiler oder die Vielfachenmenge, zu einer bestimmten natürlichen Zahl? Dann wirst du hier fündig.

1-20

21-40

41-60

61-80

81-100

101-120

121-140

141-160

161-180

181-200

Binomische Formeln lösen – Tricks und Techniken zu grundlegenden Aufgaben