Schneller Kopfrechnen: Vielfache von 5 in Rekordzeit quadrieren

Florian Thüroff·09.05.2023

Ob wir es mögen oder nicht: Das quadrieren von Zahlen begegnet uns im Alltag immer mal wieder. Besonders im handwerklichen Bereich müssen häufig Flächen berechnet werden. Und wo es um die Berechnung von Flächen geht, sind Quadratzahlen nicht weit 😜. Heute werde ich dich überzeugen, dass du zur selbst größere Quadratzahlen blitzschnell im Kopf ausrechnen kannst, ohne den Taschenrechner in deinem Smartphone bemühen zu müssen. Wetten dass du, das kleine Einmaleins vorausgesetzt, $75^2=5625$ in weniger als zwei Sekunden rechnen kannst 😎 !

Voraussetzungen

Um ganze Zahlen die auf 5 enden in Rekordzeit zu quadrieren benötigst du nur minimales Vorwissen

Kleines Einmaleins

Ist allein ausreichend um mit ganzen Zahlen zu rechnen

Aufgaben zum kleinen Einmaleins mit Lösungen

Kommaverschieberegeln beim Multiplizieren von Dezimalzahlen

Wird nur zum Quadrieren von Dezimalzahlen benötigt

Aufgaben und Lösungen zur schriftlichen Subtraktion

Das Kochrezept: Zweistellige Zahlen die auf 5 enden auf die clevere Art quadrieren 🚀

Ganze Zahlen quadrieren 🧱

Lass uns zunächst einmal einfach anfangen und uns den Rechentrick anhand des konkreten Beispiels in der Einleitung ansehen (weiter unten zeige ich dir, wie du den Trick ganz einfach auf zweistellige Kommazahlen anwenden kannst):

75^2 = \underbrace{56}_{7\cdot8}\underbrace{25}_{5\cdot5}

Um die Zahl 75 zu quadrieren musst du also nichts weiter tun, als die erste Ziffer (in dem Falle die 7) mit ihrer Nachfolgerzahl (also der 8) zu multiplizieren und an das Ergebnis (56) rechts einfach die Zahl 25 “anzukleben”. Jetzt darfst du deinen Taschenrechner ziehen und dich vergewissern, dass das Ergebnis tatsächlich stimmt 😎.

Um dir zu zeigen dass das kein Zufall war, gleich noch ein Beispiel. Wie wär’s mit der noch etwas ambitionierteren Aufgabe

95^2 = ?

Ganz einfach! Wir erinnern uns: Die Zahl 95 endet auf 5 deshalb endet deren Quadrat auf 25 (hier musst du gar nicht mehr rechnen). Alles was wir jetzt noch brauchen sind die zwei führenden Ziffern des Ergebnis. Und die ergeben sich aus der Rechnung

9\cdot10=90.

Wir sehen uns also wieder nur die erste Ziffer (9) an und multiplizieren mit deren Nachfolger (10)! Jetzt also nur noch hinten an die 90 die 25 kleben und wir wissen:

95^2=9025

Fertig 🎉!

Kommazahlen quadrieren 🍕

Vor allem im Rahmen von Heimwerkerprojekten stehen wir häufig vor dem Problem mit Kommazahlen rechnen zu müssen. Wenn du nicht gerade an einem Großprojekt beteiligt bist wirst du selten Baumaterial für eine Fläche mit 75 Meter Seitenlänge benötigen. Schon realistischer ist eine Seitenlänge von 7,5 Meter.

Zum Glück funktioniert der Rechentrick aus dem vorhergehenden Abschnitt im Grunde unverändert auch für zweistellige Kommazahlen. Um beispielsweise eine quadratische Fläche mit 7,5 Meter Seitenlänge zu berechnen, also

7,5^2 =?

schieben wir im ersten Schritt erstmal das Komma um eine Stelle nach rechts und rechnen ersatzweise

75,0^2=75^2=5625.

Nachdem wir im ersten Schritt das Komma um eine Stelle nach rechts geschoben haben (wir haben aus der 7,5 eine 75,0 gemacht), müssen wir jetzt nur noch das Komma um zwei Stellen nach links rücken, also

5625\rightarrow56,25

um das Ergebnis der Kommaaufgabe zu erhalten. Sprich

7,5^2=56,25.

Solltest du bei der ganzen Kommarückerei darüber gestolpert sein, dass wir im ersten Schritt das Komma scheinbar nur um EINE Stelle nach rechts, im zweiten Schritt aber um ZWEI Stellen nach links gerückt haben, kommt hier die einfache Erklärung: In Wirklichkeit haben wir im ersten Schritt das Komma ZWEIMAL nach rechts gerückt, da wir aus der Rechnung

7,5\cdot7,5

die Rechnung

75\cdot75

gemacht haben (wir also in ZWEI Faktoren das Komma um EINE Stelle nach rechts gerückt haben). Im Gegenzug haben wir im Ergebnis das Komma EINER Zahl um ZWEI Stellen nach links geschoben, so dass wir insgesamt zwei Kommaverschiebungen nach rechts mit zwei Kommaverschiebungen nach links korrigiert haben.

Falls dir die Erklärung zu abstrakt war, hier noch ein weiteres Beispiel: Angenommen wir wollen Zahl

0,45^2=0,45\cdot0,45=?

berechnen. Dann verschieben wir zuerst das Komma in beiden Faktoren um jeweils zwei Stellen nach rechts (wir schieben also insgesamt um vier Stellen nach rechts) um im ersten Schritt

45^2=2025

zu berechnen (hier haben wir wieder aus der ersten Ziffer

4\cdot5=20

berechnet und die Zahl 25 hinten “angeklebt”).
Im zweiten Schritt müssen wir das Komma wieder um 4 Stellen nach links verschieben und erhalten

0,45^2=0,2025

Die Theorie dahinter: Warum der Trick funktioniert

Wenn es dir ausschließlich darum geht, zweistellige Zahlen die auf 5 enden in Rekordzeit im Kopf zu quadrieren, kannst du diesen Abschnitt getrost überspringen. Wenn du allerdings wissen möchtest, warum der Trick funktioniert, bist du hier genau richtig!
Um den Rechentrick zu entschlüsseln, stellen wir zuerst alle zweistelligen Zahlen die mit der Ziffer 5 enden in folgender Form dar

10\cdot n+5,\;n=0,\dots,9.

Wie du leicht überprüfen kannst, steht in dieser Darstellung

n

für die erste Ziffer einer zweistelligen Zahl. Die zweite Ziffer ist immer die 5. So erhält man mit

n=2

zum Beispiel die 25 und mit

n=9

die 95.

Quadriert man nun diesen Ausdruck erhält man

(10\cdot n+5)^2=100\cdot n^2 + 2\cdot5\cdot 10\cdot n + 25,

wobei wir uns die binomische Formel

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

zunutze gemacht haben. An dieser Stelle kannst du den Grund erkennen, weshalb ausgerechnet die auf die Ziffer 5 endenden zweistelligen Zahlen so einfach zu quadrieren sind: In diesem Fall sind die Koeffizienten (d.h. die Zahlen vor) den Faktoren

n

und

n^2

beide gleich 100! Wir können ergo weiter schreiben:

\begin{aligned} (10\cdot n+5)^2&=&100\cdot n^2 + 2\cdot5\cdot 10\cdot n + 25\\ &=&100\cdot n^2 + 100\cdot n + 25\\ &=& 100\cdot n\cdot(n+1) + 25, \end{aligned}

wobei wir in der letzten Zeile den gemeinsamen Faktor

100n

aus den ersten beiden Termen ausgeklammert haben. Zusammengefasst haben wir also die folgende Beziehung für das Quadrat zweistelliger Zahlen die auf die Ziffer 5 enden gefunden

(10\cdot n+5)^2=100\cdot n(n+1) + 25,

die unseren Rechentrick aus dem vorherigen Abschnitt wunderschön auf den Punkt bringt 😀! Wie du dich erinnerst, ist

n

nichts weiter als die erste Ziffer einer zweistelligen Zahl die auf 5 endet. Die obige Formel sagt also: Multipliziere die erste Ziffer dieser Zahl mit ihrer Nachfolgerzahl, also

n\cdot(n+1)

, multipliziere das Ergebnis mit 100 und addiere 25.

Aber eine ganze Zahl (egal welche) mit 100 zu multiplizieren bedeutet nichts weiter als der Zahl zwei Nullen “anzukleben”. Eine ganze Zahl (egal welche) mit 100 zu multiplizieren UND danach 25 zu addieren heißt daher nichts weiter als der Zahl eine 25 “anzukleben”.

Zusammengefasst gibt die obige Formel also exakt unseren Rechentrick wieder 🎉 !

Fragen und Antworten

Funktioniert dieser Trick auch für dreistellige Zahlen?

Leider nein. Du kannst versuchen unsere Herleitung des Rechentricks einmal auf dreistellige Zahlen zu erweitern. Mit der Formel die sich dabei ergibt ist es leider nicht mehr möglich, das Ergebnis in nur einem Rechenschritt im Kopf zu berechnen.

Lässt sich der Trick auch auf andere Situationen als Quadratzahlen anwenden?

Ja, das geht, wenn auch nur für Aufgaben, die sich durch Kommaverschiebung auf eine Quadrataufgabe zurückführen lassen. Beispielsweise kann man die Aufgabe

7,5\cdot75

durch eine Kommaverschiebung nach rechts in die Quadrataufgabe

75^5=5625

zurückführen. Das Ergebnis der originalen Aufgabe erhält man durch Verschiebung des Kommas im Ergebnis der Quadrataufgabe um eine Stelle nach links:

7,5\cdot75=562,5

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