Dezimalzahlen

Stefan Vickers·30.09.2023

Dezimalzahlen, man nennt sie auch Kommazahlen, sind eine besondere Art von Zahlen, die auf unserem Zehnersystem basieren. Weißt du noch, wie wir Zahlen mit den Ziffern $0$ bis $9$ schreiben? Dezimalzahlen sind wie eine Erweiterung davon.

Hast du $135,26€$ Taschengeld gespart, so hast du nicht einen $135,26€$ -Schein in der Tasche, sondern musst diesen Betrag in Scheinen und Münzen ausdrücken.

Genauso ist es bei Dezimalzahlen. Sie sind wie ein Mix aus verschiedenen Teilen, aber sie verwenden die Zahlen $0$ bis $9$ für jeden Teil. Hierbei gibt es zwei Hauptteile: den Teil vor dem Komma, den wir Ganzzahlteil nennen, und den Teil nach dem Komma, den wir Dezimalteil nennen.

Der Ganzzahlteil sind die Ziffern links des Kommas und der Dezimalteil sind die Ziffern rechts davon.

Dezimalzahl - Beispiel

Lass uns das mit unserem Taschengeld-Beispiel von $135,26€$ verstehen:

Ganzzahlteil (links vom Komma):

Die $1$ bedeutet einen $100$ -Euro-Schein.
Die $3$ bedeutet drei $10$ -Euro-Scheine.
Die $5$ bedeutet fünf $1$ -Euro-Münzen.

Dezimalteil (rechts vom Komma):

Die $2$ bedeutet zwei $10$ -Cent-Münzen.
Die $6$ bedeutet sechs $1$ -Cent-Münzen.

Ziffer	Geldeinheit	Dezimalstelle
$1$	$100$ -€-Schein	$100$
$3$	$10$ -€-Schein	$10$
$5$	$1$ -€-Münze	$1$
$2$	$10$ -Cent-Münze	$\frac{1}{10}$
$6$	$1$ -Cent-Münze	$\frac{1}{100}$

So wird die Dezimalzahl $135,26$ eigentlich zu:

$1\cdot 100+3\cdot 10+5\cdot 1+2\cdot \frac{1}{10}+6\cdot \frac{1}{100} = 100+30+5+0,2+0,06 = 135,26$

Abbrechende Dezimalzahlen

Eine abbrechende Dezimalzahl hat nur eine begrenzte Anzahl an Nachkommastellen, die nicht Null sind. Anders als unendliche Dezimalzahlen hört sie also nach einer gewissen Anzahl von Stellen auf. Die Reihe an Nachkommastellen bricht ab, daher kommt der Name “abbrechende Dezimalzahlen”.

Abbrechende Dezimalzahlen haben endlich viele von Null verschiedene Nachkommastellen.

Nehmen wir zum Beispiel die Zahl $\frac{1}{4}$ , das ist ein Viertel. Wenn wir das als Dezimalzahl schreiben, wird es zu $0,25$ . Hier hört die Zahl nach den Stellen $2$ und $5$ auf. Das bedeutet, dass es keine weiteren Ziffern gibt, die von Null verschieden sind und danach kommen. Das nennt man eine abbrechende Dezimalzahl.

Unendliche Dezimalzahlen

Im Gegensatz dazu sind unendliche Dezimalzahlen solche, bei denen die Dezimalzahl keine endliche Anzahl von Ziffern hat und somit unendlich weitergeht. Es gibt zwei Arten von unendlichen Dezimalzahlen: nicht periodische und periodische Dezimalzahlen.

Unendliche nicht periodische Dezimalzahlen

Manchmal wiederholen sich die Ziffern in einer unendlichen Dezimalzahl nicht in einem bestimmten Muster. Ein Beispiel hierfür ist die Zahl $\pi$ . Wenn wir $\pi$ als Dezimalzahl schreiben, sieht es so aus: $3,14159...$ . Die Zahlen nach dem Komma gehen immer weiter, aber es gibt kein wiederkehrendes Muster.

unendliche nicht periodische Dezimalzahlen haben unendliche Viele Nachkommastellen, die sich nicht in einer bestimmten Reihenfolge wiederholen.

Unendliche nicht periodische Dezimalzahlen werden auch irrationale Zahlen genannt. Alle anderen Dezimalzahlen sind rationale Zahlen.

Periodische Dezimalzahlen

In anderen Fällen können die Ziffern in einer unendlichen Dezimalzahl sich unendlich oft wiederholen. Solche Zahlen nennt man “periodische Dezimalzahlen”.

Periodische Dezimalzahlen haben unendliche Viele Nachkommastellen, die sich in einem vorgegebenen Muster wiederholen.

Hierbei kann es sich um eine einzelne Nachkommazahl handeln, die unendlich oft wiederholt wird. Ein Beispiel hierfür ist $\frac{1}{3}$ . Wenn wir das als Dezimalzahl schreiben, wird es zu $0,333...=0,\overline{3}$ . Hier wiederholt sich die Ziffer $3$ immer und hört nie auf.

Es kann aber auch eine Reihenfolge von Zahlen wiederholt werden, wie zum Beispiel bei der Zahl $\frac{44}{333}$ . Als Dezimalzahl sieht sie so aus $0,132132132...=0,\overline{132}$ , die Zahlenfolge $132$ wird hier unendliche oft wiederholt.

Es kann außerdem vorkommen, dass die sich wiederholenden Zahlen erst nach einer festen Zahlenfolge einsetzen, sie z.B. bei der Zahl $\frac{5}{12}$ , die ausgeschrieben $0,416666666...=0,41\overline{6}$ ergibt. Hier sind die ersten Nachkommazahlen $41$ statisch, erst die Zahl $6$ danach wird unendlich oft wiederholt.

Darstellung als Bruch

Abbrechende und periodische Dezimalzahlen gehören zu den rationalen Zahlen und lassen sich daher als Bruch darstellen. Die Zahl $\frac{3}{4}$ kann als $0,75$ geschrieben werden oder z.B. die Zahl $\frac{1}{3}$ als $0,\overline{3}$ .

Unendliche nicht periodische Dezimalzahlen gehören jedoch zu den irrationalen Zahlen, so dass für sie keine Darstellung als Bruch möglich ist.

Darstellung als Dezimalzahl

Die Umwandlung ist natürlich auch anders herum möglich, alle Brüche können als Dezimalzahlen dargestellt werden. Hierzu teilen wir den Zähler durch den Nenner. Das Ergebnis ist eine Dezimalzahl. Zum Beispiel, wenn wir den Bruch $\frac{3}{4}$ haben, teilen wir $3$ durch $4$ . Hierzuführen wir eine schriftliche Division durch und kommen zum Ergebnis $0,75$ . Das bedeutet, dass drei Viertel gleich $0,75$ sind.

Je nachdem ob der Bruch zu einer abbrechenden Dezimalzahl oder zu einer periodischen Dezimalzahl wird, ist diese Rechnung einfacher oder etwas schwieriger.

Fragen und Antworten

Sind alle unendlichen Dezimalzahlen periodisch?

Nein, nicht alle unendlichen Dezimalzahlen sind periodisch. Stellt man eine irrationale Zahl als Dezimalzahl dar, z.B.

\pi

, so hat diese unendlich viele Nachkommastellen, die sich aber nicht in einer bestimmten Reihenfolge wiederholen.

Kannst du mir ein Beispiel für eine periodische Dezimalzahl geben?

Die Zahl

0,333...=0,\overline{3}

ist eine periodische Dezimalzahl, da die Ziffer

3

unendlich oft wiederholt wird.

Was sind abbrechende Dezimalzahlen?

Abbrechende Dezimalzahlen, sind Dezimalzahlen die nicht unendliche viele von Null verschiedene Nachkommastellen haben. Sie brechen ab einer bestimmten Nachkommastelle ab, wie z.B.

0,25

. Nach der

5

kommen nur noch Nullen, so das man diese nicht mit aufschreibt.

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