Lineare Gleichungen - Textaufgaben lösen

Schritt 1: Die Variable(n) bestimmen 👈

Eine lineare Gleichung enthält immer mindestens eine Variable. Um die Gleichung auf zu stellen, müssen wir also zunächst herausfinden, was die Variable ist. Die Variable ist Platzhalter für eine unbekannte Größe und ist in der Regel leicht zu identifizieren. Die Variable ist immer das, wonach in der Textaufgabe gesucht wird! In unserem Beispiel lautet die Frage “Wieviel, verdient Tobias momentan pro Monat?”. Gesucht ist also das Monatsgehalt von Tobias.

Eine andere Variable gibt es in diesem Beispiel nicht. Es gibt keine weitere unbekannte Größe, die von Relevanz ist.

Um deine Erkenntnisse zu notieren, schreibst du am besten auf, was deine Variable ist. Dies machst du wie folgt:

Schritt 2: Einheiten umrechnen 👈

Ganz wichtig ist es auf die Einheiten bei einer linearen Gleichung zu achten. Obwohl die Einheiten in der linearen Gleichung meistens weggelassen werden, muss man aufpassen, dass die Einheiten übereinstimmen. Sonst bekommt man schnell ein falsches Ergebnis.

In unserem Beispiel ist sowohl von Jahren als auch von Monaten die Rede. Da unsere Variable $x$ das Monatsgehalt von Tobias ist, müssen wir die Jahresangabe nun in Monate umrechnen. Ein Jahr hat 12 Monate. Bekommt Tobias 1200 Euro mehr pro Jahr, sind das umgerechnet auf jeden Monat genau $\frac{1200}{12}=100$Euro.

Schritt 3: Gleichung aufstellen 👈

Nun können wir die Gleichung aufstellen. Dazu gehen wir jeden Satz der Textaufgabe noch einmal durch.

Zunächst ist von einer Verdopplung von Tobias Monatsgehalt die Rede. Tobias Monatsgehalt ist unsere Variable $x$. Eine Verdopplung entspricht dem Vorfaktor “2”. Wir wissen also bereits, dass $2x$ in der linearen Gleichung vorkommen.

Als nächstes fällt das wichtige Wort “gleichbedeutend”. Dieses symbolisiert das Gleichheitszeichen in der linearen Gleichung. Das was jetzt folgt, steht also auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens. Wir haben nun $2x=$ als Bestandteil der Gleichung.

Als nächstes geht es in dem Aufgabentext um die jährliche Lohnerhöhung um 1200 Euro. Diese haben wir bereits in eine monatliche Lohnerhöhung von 100 Euro umgerechnet. Zu dem eigentlichen Monatsgehalt $x$ werden also 100 Euro addiert. Dies entspricht dem Term $x+100$. Zusammen haben wir nun die lineare Gleichung:

Schritt 4: Lineare Gleichung lösen 👈

Im vorletzten Schritt lösen wir nun die lineare Gleichung. Die vorliegende lineare Gleichung hat, Variablen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens. Wie solche linearen Gleichungen grundsätzlich gelöst werden, kannst du hier nachlesen.

In unserem Fall ist es allerdings sehr einfach. Wir führen eine Äquivalenzumformung durch in dem wir $x$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahieren:

Dadurch erhalten wir direkt die Lösung unserer linearen Gleichung:

Diese Lösung kann durch einsetzen in die lineare Gleichung noch überprüft werden (kleine Übung zum Selbermachen).

Schritt 5: Antwortsatz schreiben 👈

Um die Textaufgabe abzuschließen, schreiben wir nun einen Antwortsatz. Dieser muss nicht besonders lang sein, ein Einzeiler reicht. Du solltest dich beim Antwortsatz allerdings trotzdem auf die eingängige Fragestellung beziehen.

Für die obige Textaufgabe könnte der Antwortsatz zum Beispiel wie folgt aussehen: