Brüche mit Variablen erweitern

Anna Redenius·30.09.2023

Du hast vielleicht schon vom Brüche Erweitern gehört, aber wusstest du, dass du Brüche mit Variablen genauso erweitern kannst wie Brüche mit Zahlen? Das kann dir helfen, Gleichungen zu vereinfachen oder mehrere Bruchterme zuaddieren oder zusammenzufassen.

Warum erweitert man Brüche mit Variablen?

Stell dir vor, du hast den Bruch $\frac{x}{3}$ . Manchmal ist es nützlich, diesen Bruch so anzupassen, dass der Nenner größer wird. Warum? Ein größerer Nenner kann uns helfen, Bruchterme besser zu vergleichen oder Gleichungen einfacher zu lösen. Das Erweitern von Brüchen mit Variablen ermöglicht es uns, flexibler mit mathematischen Ausdrücken umzugehen und sie besser zu verstehen.

Brüche mit Variablen erweitern- Anleitung

Einen Nenner finden

Schau dir den Nenner des Bruchs an. Überlege, welchen Faktor du multiplizieren könntest, um den Nenner auf den Term zu bringen, den du haben möchtest.

Betrachtest du den Bruchterm $\frac{y}{2x}$ und möchtest diesen gerne mit dem Bruchterm $\frac{3y}{4x}$ vergleichen, so musst du beide auf den selben Nenner bringen. Am geschicktesten machst du das, indem du den ersten Bruch auf den Nenner $4x$ erweiterst. Da $4x=2\cdot 2x$ ist, musst du mit $2$ erweitern.
Der erste Bruch wird damit zu $\frac{2y}{4x}$ . Damit siehst du direkt, dass der erste Bruch kleiner ist als der zweite. Da die Nenner nun beide gleich sind, vergleichen wir hier gleichnamige Brüche und müssen somit nur noch die Zähler betrachten. Wir sehen, da $2y$ kleiner ist als $3y$ , ist der erste Bruch kleiner als der zweite.

\frac{y}{2x}=\frac{2y}{4x} < \frac{3y}{4x}

Zähler erweitern

Vergiss nicht, wie beim normalen Erweitern auch, den Zähler mit anzupassen. Dadurch bleibt das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner unverändert. Grade wenn du mit einer Variable oder einem Term erweitern möchtest, ist es zwingend notwendig aufs richtige vorgehen zu achten, da sich die Gleichung sonst fundamental ändern kann.

Erweitert man z.B. $\frac{x}{y}$ mit $x$ , so erhält man $\frac{x^2}{yx}$ . Vergisst man die Variable $x$ auch im Zähler hinzuzufügen, könnte man $x$ aus dem Bruch streichen und hätte eine Gleichung, die nur noch von $y$ abhängt. Das wäre in diesem Falle leider falsch.

Brüche mit Variablen erweitern - Beispiele

Ursprünglicher Bruch	Erweiterter Bruch	Erweitertet mit
$\frac{x}{3}$	$\frac{4x}{12}$	$4$
$\frac{2y}{6}$	$\frac{4y}{12}$	$2$
$\frac{a}{4}$	$\frac{3a}{12}$	$3$

Da diese Brüche nun alle den selben Nenner haben, können wir sie vergleichen und verrechnen.

Fragen und Antworten

Warum sollten wir Brüche mit Variablen erweitern?

Das Erweitern hilft uns, Brüche vergleichbarer zu machen und Gleichungen einfacher zu lösen. Es ermöglicht uns eine bessere Handhabung von mathematischen Ausdrücken.

Muss ich immer Brüche mit Variablen erweitern?

Nicht unbedingt. Das Erweitern ist besonders dann hilfreich, wenn du Brüche vergleichen oder Gleichungen lösen möchtest. In manchen Fällen reicht der ursprüngliche Bruch aus.

Kann ich Brüche mit Variablen genauso erweitern wie Brüche mit Zahlen?

Ja, der Prozess ist sehr ähnlich. Du findest einen gemeinsamen Nenner und multiplizierst Zähler und Nenner mit demselben Faktor, um den Bruch zu erweitern.

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