Bruchterme

Anna Redenius·17.07.2023

Bruchterme sind mathematische Ausdrücke, die Brüche enthalten. Sie bestehen aus einem Zähler und einem Nenner, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner Terme stehen können. Zum Beispiel ist $\frac{x+1}{x-2}$ ein Bruchterm.

Definition für Bruchterme

Bruchterme sind Brüche bei denen sowohl im Nenner als auch im Zähler Terme stehen können.

Die Rechenregeln für das Rechnen mit Bruchtermen sind die gleichen wie für das Rechnen mit normalen Brüchen.

Es ist wichtig zu beachten, dass der TermWert des Nenners niemals null sein darf, da eine Division durch null nicht definiert ist. Gegebenenfalls muss somit der Definitionsbereich für $x$ angepasst werden.

Beispiel Bruchterm	Definitionsbereich
$\frac{x+1}{x-1}$	$x \neq 1$
$\frac{x-1}{x+2}$	$x \neq -2$
$\frac{x^2}{y}$	$y \neq 0$
$\frac{x^4}{4}$	überall

Bruchterme mit Polynomen

Ein Bruchterm kann auch als Quotient aus zwei Polynomen. Ein Polynom ist eine algebraische Gleichung, die aus verschiedenen Termen besteht, die durch die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation (keine Division) aus den Variablen und den Koeffizienten gebildet werden.

Beispiele

Auch wenn wir uns dem Thema erst später ausführlicher widmen werden, kommen hier für die Neugierigen unter Euch bereits ein paar Beispiele für Bruchterme und wie man mit ihnen rechnet:

Addition: $\frac{x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1) + (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - x + x + 1}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$
Subtraktion: $\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1) - (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - x - x - 1}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 2x - 1}{x^2 - 1}$
Multiplikation: $\frac{x}{x+1} \cdot \frac{1}{x-1} = \frac{x \cdot 1}{(x+1)(x-1)} = \frac{x}{x^2 - 1}$
Division: $\frac{x}{x+1} \div \frac{1}{x-1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x-1}{1} = \frac{x(x-1)}{x+1} = \frac{x^2 - x}{x+1}$

Fragen und Antworten

Was ist ein Bruchterm und wie wird er definiert?

Ein Bruchterm ist ein Ausdruck der Form

\frac{P(x)}{Q(x)}

, wobei P(x) und Q(x) Polynome in x sind und Q(x) an keiner Stelle Null ist.

Wie multipliziert und dividiert man Bruchterme?

Bruchterme werden multipliziert, indem man die Zähler und die Nenner separat multipliziert:

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

.
Bruchterme werden dividiert, indem man den ersten Bruchterm mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert:

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Wie vereinfacht und kürzt man Bruchterme?

Bruchterme können oft durch Kürzen vereinfacht werden. Dabei teilt man Zähler und Nenner durch ihre gemeinsamen Faktoren. Um einen Bruchterm zu kürzen, kann man den Zähler und den Nenner faktorisieren und dann die gemeinsamen Faktoren streichen.

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