Zinsrechnung

Anna Redenius·09.05.2023

Zinsrechnung nennt man die Prozentrechnung im Finanzwesen. Den Grundwert nennt man hierbei Kapital, der Prozentsatz wird zum Zinssatz und den Prozentwert bezeichnet man mit dem Begriff Zinsen.

Zinsrechnung	Prozentrechnung
Kapital $K$	Grundwert $G$
Zinsen / Zinsbetrag $Z$	Prozentwert $W$
Zinssatz $p \%$	Prozentsatz $p \%$

Das Kapital ist das Geld, welches man in der Bank hinterlegen oder sich von der Bank leihen will.

Das Kapital berechnet man mit:

K=\frac{Z \cdot 100}{p}

Der Zinssatz ist der Prozentuale Anteil den die Bank einem als Belohnung dafür gibt, das man sein Geld bei ihnen anlegt, oder welchen sie als Bezahlung für das geliehene Geld fordert.

Den Zinssatz berechnet man mit:

p\%=\frac{p}{100}=\frac{Z}{K}

Die Zinsen sind der Geldbetrag, den man in einem bestimmten Zeitraum für seine Geldanlage bekommt oder den man für seinen Kredit zahlen muss.

Die Zinsen berechnet man mit:

Z=\frac{K \cdot p}{100}

Was unterscheidet Zinsrechnung und Prozentrechnung?

Die Zinsrechnung kann als Spezialfall der Prozentrechnung betrachtet werden.

Da Zins- und Finanzprobleme im Alltag jedoch komplexere Anwendungen finden, wollen wir Problemstellungen dieser Art nochmal gesondert unter die Lupe zu nehmen.

Es gibt mehrere Möglichkeiten Kapital zu verzinsen. Zum einen wird unterschieden, in welchem Zeitraum die Zinsen berechnet werden. Zum Anderen muss festgelegt werden, ob die Zinsen nur auf das Ursprungskapital angewendet werden, oder auch auf die nach und nach anwachsenden Zinsen. Zweiteres nennt man auch Zinseszins.

Verzinsung ohne Zinseszins

Zunächst betrachten wir die Verzinsung von festen Anlagen, hier wird weder Geld eingezahlt noch abgehoben. Außerdem wird nur das Startkapital verzinst, die angehäuften Zinsen werden jedoch nicht weiter betrachtet.

fest Analgen bezogen auf

n

Jahre verzinst man mit:

Z_n=n\cdot\frac{K \cdot p}{100}

Der Zinssatz wird immer auf ein Jahr bezogen angegeben muss für die Verzinsung in Monaten bzw Tagen somit herunter gerechnet werden.

fest Analgen bezogen auf

m

Monate verzinst man mit:

Z_m=\frac{K \cdot p\cdot m}{100\cdot 12}

Um die Zinsen bezogen auf Tage angeben zu können, rechnet man standardmäßig allerdings nicht mit 365 bzw 366 Tagen, sondern mit 360 Tagen. Man rundet jeden Monat auf 30 Tage, mit 12 Monaten ergeben sich somit die verwendeten 360 Tage.

fest Analgen bezogen auf

t

Tage verzinst man mit:

Z_t=\frac{K \cdot p\cdot t}{100\cdot 360}

Verzinsung mit Zinseszins

Bei der Verzinsung mit Zinseszins werden die angehäuften Zinsen mit verzinst. Nach zum Beispiel einem Jahr müssen somit die Zinsen zum Kapital hinzu addiert werden und als neues Kapital weiter verzinst werden.

Um hierzu nun eine allgemeine Formel herleiten zu können, schauen wir uns eine Kapitalanlage $K_0$ bezogen auf $n=3$ Jahre an:

K_0=Startkapital

Nach einem Jahr kommen die ersten Zinsen (

Z_1

) dazu:

\begin{alignedat}{2} K_1= K_0 + Z_1 = K_0 + \frac{K_0 \cdot p}{100}= K_0 \cdot (1+ \frac{p}{100}) \end{alignedat}

Dies ist der Geldbetrag, der im zweiten Jahr weiter verzinst wird, unseren Zinssatz müssen wir also auf $K_1$ und nicht nur auf $K_0$ anwenden.

$\begin{alignedat}{2} K_2= K_1 + Z_2 = K_1 + \frac{K_1 \cdot p}{100}= K_1 \cdot (1+ \frac{p}{100}) \\ = K_0 \cdot (1+ \frac{p}{100}) \cdot (1+ \frac{p}{100}) \\ = K_0 \cdot (1+ \frac{p}{100})^2 \end{alignedat}$

Im dritten Jahr wird der Betrag aus Jahr zwei weiter verzinst, der Zinssatz wird damit auf $K_2$ angewendet.

$\begin{alignedat}{2} K_3= K_2 + Z_3 = K_2 \cdot (1+ \frac{p}{100}) = (K_0 \cdot (1+ \frac{p}{100})^2) \cdot (1+ \frac{p}{100}) \\ = K_0 \cdot (1+ \frac{p}{100})^3 \end{alignedat}$

Insgesamt lässt sich $K_n$ immer in Abhängigkeit von $K_0$ darstellen und zwar über die folgende Beziehung:

Kapital

K_0

nach

n

Jahren mit Zinseszins

K_n= K_0 \cdot (1+ \frac{p}{100})^n

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161-180

181-200

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