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Veränderter Grundwert

Anna Redenius·18.10.2022

Oft wird auch nach einer Veränderung des Grundwertes gesucht. Hierunter fallen zum Beispiel Formulierungen wie “25% mehr als im Vorjahr\text{\bf{25\% mehr als im Vorjahr}}” und “Jetzt zum halben Preis\text{\bf{Jetzt zum halben Preis}}”.

Hier muss nachdem Berechnen des Prozentwertes dieser noch mit dem Grundwert (G\color{#7458C1}G) verrechnet werden. Es wird also nach einer prozentualen Änderung gesucht.

Voraussetzungen - Das solltest du können

Folgendes Vorwissen solltest du bereits mitbringen, um Aufgaben zur Veränderung des Grundwertes sicher zu meistern.

Solltest du mit einem der Themen noch Schwierigkeiten haben, findest du auf unserer Seite nützliche Informationen dazu und kannst über unseren Aufgabengenerator kostenlos Übungsaufgaben zu den Themen ausdrucken.

Grundbegriffe der Prozentrechnung

Du kannst die Begriffe “Grundwert”, “Prozentwert” und “Prozentsatz” sicher verwenden und den gesuchten Größen zuordnen.
  • Sind diese Begriffe für dich eher Kauderwelsch als Gedächtnisstützen, so kannst du dein Wissen mit den Artikel Formeln der Prozentrechnung auffrischen.

Berechnen des Prozentwertes

Für gegebenen Grundwert und Prozentsatz kannst du den zugehörigen Prozentwert bestimmen
  • Sollte dies noch nicht ganz der Fall sein, haben wir in dem Artikel Prozentwert;Prozentwert gut erklärte Beispielrechnungen für dich!

Verminderter Grundwert

Wir können uns Aufgaben diesen Typs als Rabatt-Gutschein vorstellen. Nach Abzug des Rabattes zahlt man weniger als den Normalpreis. Der verminderte Grundwert ist somit kleiner als der eigentliche Grundwert.

Visualisierung des verminderten Grundwertes am Kreis

Zur Berechnung des verminderten Grundwertes gibt es zwei Rechenwege.

Entweder man berechnet den Prozentwert und zieht diesen vom Grundwert ab:

verminderten Grundwert:
GpG100{\color{#7458C1}G}-\frac{{\color{#FFCD05}p} \cdot\color{#7458C1} G}{100}

Alternativ errechnet man, wie viel Prozent “übrig bleiben” und berechnet zu diesem neuen Prozentsatz den zugehörigen Prozentwert:

verminderten Grundwert:
(100p)G100\frac{(100-{\color{#FFCD05}p}) \cdot \color{#7458C1}G}{100}

Das beide Formeln äquivalent zueinander sind lässt sich leicht zeigen:
GpG100=100G100pG100=100GpG100=(100p)G100\color{#7458C1}G-\frac{{\color{#FFCD05}p} \cdot\color{#7458C1} G}{100}= \frac{100\cdot\color{#7458C1}G }{100}-\frac{{\color{#FFCD05}p} \cdot\color{#7458C1} G}{100}=\frac{100\cdot {\color{#7458C1}G}-{\color{#FFCD05}p} \cdot\color{#7458C1} G}{100}=\frac{(100-\color{#FFCD05}p) \cdot \color{#7458C1}G}{100}

Rechenbeispiel mit Brüchen

Schauen wir uns dies zum besseren Verständnis an einem Beispiel an. Bleiben wir direkt bei einem Rabatt von 25% und nehmen wir an, wir haben für 20€ eingekauft.

Methode 1:

  • Diesen verrechnen wir nun mit dem Grundwert. Wir zahlen somit am Ende: 20€-5€=15€

Methode 2:

  • Für den zweiten Weg schauen wir, wie viel Prozent eigentlich übrig bleibt. Wir starten mit 100% des Grundwertes und wollen 25% weniger ausrechnen, also ziehen wir diese von unseren hundert Prozent ab 100%25%=75%\\ 100\%-25\%=75\%
  • Jetzt können wir wie gewohnt den Prozentwert zu 75% on 20€ suchen. Hierzu multiplizieren wir 20 dieses mal mit 75 und teilen dann wieder durch 100
    075%=2075100=2075100=1500100=15 \begin{alignedat} 20 \cdot 75\%= 20 \cdot \frac{75}{100}=\frac{20\cdot 75}{100}=\frac{1500}{100}=15 \end{alignedat}
    Wir müssen also noch 15€ zahlen.

Je nach Aufgabe kann ein Weg einen schneller ans Ziel führen als der andere, wir kommen aber über beide Wege zum selben Ergebnis.

Wählt einfach den Weg, der euch am intuitivsten erscheint!

Rechenbeispiel mit Dezimalzahlen

In der ersten Erklärung haben wir die Prozentzahlen als Brüche betrachtet, beide Lösungswege funktionieren allerdings genauso in der Betrachtung als Dezimalzahlen.

Wer nicht mehr genau weiß, wie sich eine Prozentzahl als Dezimalzahl darstellen lässt, der kann unter Prozentzahlen als Dezimalzahlen alles wichtige nachlesen.

Als Dezimalzahl geschrieben sind 25%=25100=0.2525\%=\frac{25}{100}=0.25.

Methode 1:

  • Wir rechnen 200.25=520 \cdot 0.25=5. Es ergeben sich also 5€ Rabatt
  • Im Anschluss ziehen wir diese 5€ von unseren 20€ Anfangspreis ab. Zu zahlen sind damit noch 15€.

Methode 2:

  • Wir wissen, dass hundert Prozent in Dezimaldarstellung 1 sind. Somit rechnen wir 10.25=0.751-0.25=0.75
  • Dies wenden wir auf unseren Grundwert an, d.h. wir müssen mit 0.75 multiplizieren. Wegen 20\text{ €}\cdot 0.75=15\text{ €} ist der rabattierte Preis, also der verminderten Grundwert, 15€.

Vermehrter Grundwert

Hier wollen wir wissen, um welchen Wert der Grundwert größer wird, wir suchen den vermehrten Grundwert. Hierbei handelt es sich um eine Prozentuale Zunahme.

Vorstellen können wir uns hier zum Beispiel die Mehrwertsteuer, bei dieser wird 19% zum eigentlichen Verkaufswert der Ware hinzugerechnet.

Visualisierung des vermehrten Grundwertes am Kreis

Auch der vermehre Grundwert lässt sich über zwei Wege berechnen:

Wir können den Prozentwert für 19% errechnen und zum Grundwert dazu addieren:

vermehrter Grundwert:
G+pG100{\color{#7458C1}G}+\frac{{\color{#FFCD05}p} \cdot \color{#7458C1}G}{100}

Oder wir berechnen direkt den Prozentwert zu 119%

vermehrter Grundwert:
(100+p)G100\frac{(100+{\color{#FFCD05}p}) \cdot \color{#7458C1}G}{100}

Rechenbeispiel mit Brüchen

Bleiben wir bei 19% Mehrwertsteuer und sagen wir, dass wir etwas im Wert von 20€ verkaufen wollen, der Ladenpreis muss also 19% teurer sein als die ursprünglichen 20€.

Methode 1:

  • Wir berechnen wie gewohnt den Prozentwert von 19% für 20€
    2019%=2019100=2019100=380100=3,8 20 \cdot 19 \%= 20 \cdot \frac{19}{100}=\frac{20\cdot 19}{100}=\frac{380}{100}=3,8
  • Zu unserem Verkaufswert von 20€ kommen damit noch 3,8€ Mehrwert hinzu, sodass der Ladenpreis bei 23,8€ liegt.

Methode 2:

  • Wir wollen mehr als die Ursprünglichen 100% erhalten, unser Prozentsatz ist damit
    100%+19%=119% 100\%+19\%=119\%
  • Wir errechnen 119% von 20€, dies liefert und sofort den Verkaufspreis.
    20119%=20119100=20119100=2380100=23,80 20 \cdot 119\%= 20 \cdot \frac{119}{100}=\frac{20\cdot 119}{100}=\frac{2380}{100}=23,80€
    Auch mit diesem Weg erhalten wir einen Ladenpreis von 23,80€.

Rechenbeispiel mit Dezimalzahlen

Das es sich beim vermehrten Grundwert um mehr als den Grundwert handelt, sieht man besonders gut in der Darstellung als Dezimalzahl.

Um die 25% weniger aus dem letzten Beispiel auf den Grundwert anzuwenden multipliziert man mit 0.75.

Um 19% hinzuzufügen muss man nun mit 1+0,19=1,19 multiplizieren.

Die Dezimalzahl ist also größer als Eins, man hat mehr, als man am Anfang hatte.
Angewendet auf unser Beispiel heißt das:

Methode 1:

  • Unsere 19% sind 0,19 in Dezimaldarstellung. Damit sind 19% vom Grundwert 0.1920=3,8\\ 0.19 \cdot 20€=3,8€.
  • Diese kommen zum Anfangswert hinzu, sodass sich folgender Ladenpreis ergibt 20+3,8=23,8\\ 20€+3,8€=23,8€

Methode 2:

  • 119% sind in Dezimaldarstellung: 1+0,19=1,191+0,19=1,19.
  • Insgesamt ergibt sich der Ladenpreis zu: 201,19=23,8020\cdot 1,19=23,80€

Die Mehrwertsteuer Falle

Achtung! Manchmal liest man in Geschäften, dass einem beim Kauf die Mehrwertsteuer geschenkt wird.

Hier ist jedoch darauf zu achten, dass es sich um 19% des Grundwertes handelt, der Ladenpreis aber schon der vermehrte Grundwert ist.

Wir können hier also nicht 19% von 23,80€ abziehen, sondern müssen die Aufgabe anders betrachten.
Wir müssen hier aus Prozentsatz und Prozentwert den Grundwert errechnen!

Falls ihr nicht mehr genau wisst, wie das geht, findet ihr im Artikel Berechnung des Grundwertes Erklärungen und Beispiele zu dem Thema.

Aufpassen muss man außerdem bei der Bestimmung des Prozentsatz. Der Prozentsatz ergibt 100%+19%=119% und nicht 19%!
Somit ist der vermehrte Grundwert:

23,80100119=20 \frac{23,80€ \cdot 100}{119}=20€

Der Artikel kostet also noch 20€.

Gäbe es reguläre 19% Rabatt auf den Artikel der 23,80€ kostet, wären dies 19% von 23,80€ und damit 23,80191004,50\frac{23,80€ \cdot 19}{100} \approx 4,50€. Man hätte dann also nur 19,30€ für den Artikel zahlen müssen, Schade!

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