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Formeln der Prozentrechnung

Anna Redenius·18.10.2022

In der Einführung in die Prozentrechnung haben wir gesehen wie oft wir die Prozentrechnung im Alltag nutzen. In diesem Artikel wollen wir uns die Anwendung der Prozentrechnung genauer angesehen, wir beschäftigen uns mit der Frage: “Wie funktioniert das eigentlich🤔?”

Grundbegriffe der Prozentrechnung

Die Grundbegriffe der Prozentrechnung sind: der Grundwert, der Prozentsatz und der Prozentwert.

Die Prozentzahl gibt an, wie viel Prozent des Grundwertes man betrachtet, z.B. 2525, wenn man 25%25 \% berechnen will.
Der Prozentsatz gibt an, welchen Anteil des Grundwertes man betrachtet, in diesem Beispiel also 25100=0,25\frac{25}{100}=0,25 oder auch 14\frac{1}{4}. Prozentzahl und Prozentsatz stehen also in folgendem Zusammenhang p100=p%\frac{\color{#FFB916}p}{100}=\color{#FFB916}p \% zueinander.

Bildliche Erklärung der Grundbegriffe der Prozentrechnung

Grundformeln der Prozentrechnung

Für die Prozentrechnung reicht es, sich eine einfache Grundformel zu merken.

Die Grundgleichung der Prozentrechnung:
Wp=G100\frac{{\color{#83B7E8}W}}{{\color{#FFB916}p}}=\frac{{\color{#7458C1}G}}{100}

Je nachdem, welche Größe in der Aufgabe gesucht wird, können wir diese Gleichung umstellen, um zu dem gewünschten Ergebnis zu gelangen.

Merke! In dieser Gleichung wird die Prozentzahl p\color{#FFB916}p verwendet! Die Grundgleichung mit dem Prozentsatz p%\color{#FFB916}p\% sieht folgendermaßen aus:

p%=WG {\color{#FFB916}p\%}=\frac{\color{#83B7E8}W}{\color{#7458C1}G}
.

Mit welcher Ausgangsgleichung man schneller zum Ergebnis kommt, hängt von der Aufgabenstellung ab. Da sich beide Gleichungen leicht ineinander überführen lassen, können wir letzten Endes selbst entscheiden welcher Weg für uns intuitiver ist.

Der Grundwert

Den Grundwert berechnet man mit:
100Wp=G\frac{100 \cdot \color{#83B7E8}W}{\color{#FFB916}p}=\color{#7458C1}G

Diese Gleichung erhält man, wenn man die Grundgleichung auf beiden Seiten mit 100100 multipliziert.

Wp=G100100100Wp=G \begin{aligned} &\frac{\color{#83B7E8}W}{\color{#FFB916}p}=\frac{\color{#7458C1}G}{100} \qquad \qquad |*100 \\ &\Rightarrow \frac{100 \cdot \color{#83B7E8}W}{\color{#FFB916}p}=\color{#7458C1}G \end{aligned}

Hat man einen Wert für den Prozentsatz gegeben, so dass man die Prozentzahl nicht direkt ablesen kann, so arbeitet man mit folgender Formel:
Wp%=G \frac{\color{#83B7E8}W}{\color{#FFB916}p\%}={\color{#7458C1}G}

Berechnung des Grundwert

Möchte man wissen, für welchen Wert 3% sich zu 6 ergeben, wird nach dem Grundwert gesucht.

Der Prozentwert

Den Prozentwert errechnet man über folgende Formel:
W=Gp100{{\color{#83B7E8}W}}=\frac{{\color{#7458C1}G} \cdot {\color{#FFB916}p}}{100}

Diese Gleichung ergibt sich, indem man die Grundgleichung mit p\color{#FFB916}p multipliziert:

Wp=G100100W=Gp100 \begin{alignedat}{3} &\frac{\color{#83B7E8}W}{\color{#FFB916}p}=\frac{\color{#7458C1}G}{100} \qquad \qquad |*100 \\ &\Rightarrow {\color{#83B7E8}W}=\frac{{\color{#7458C1}G} \cdot \color{#FFB916} p}{100} \end{alignedat}

Arbeitet man mit dem Prozentsatz, vereinfacht sich diese Formel zu:
W=Gp% {\color{#83B7E8}W}={\color{#7458C1}G} \cdot \color{#FFB916}p\%

Berechnung des Prozentwertes

Fragt man sich “Wie viel sind 20% von 50?”, so sucht man nach dem Prozentwert.

Der Prozentsatz

Zunächst wollen wir erstmal eine Formel für die Prozentzahl aufstellen. Hierzu, können wir auf zwei Weisen vorgehen. Wir teilen die Grundgleichung durch W\color{#83B7E8}W und nehmen den Kehrwert:

Wp=G100:W1p=G100W()1p=100WG \begin{alignedat}{3} &\frac{\color{#83B7E8}W}{\color{#FFB916}p}&&=\frac{\color{#7458C1}G}{100} \qquad &&|:{\color{#83B7E8}W} \\ &\frac{1}{\color{#FFB916}p}&&=\frac{\color{#7458C1}G}{100 \cdot \color{#83B7E8}W} \qquad \qquad &&|({})^{-1} \\ &\Rightarrow {\color{#FFB916}p}&&=\frac{100 \cdot \color{#83B7E8}W}{\color{#7458C1}G} \end{alignedat}

Wem der Kehrwert noch Schwierigkeiten bereitet, der kann den zweiten Lösungsweg verwenden. Hierbei multiplizieren wir zunächst mit p\color{#FFB916}p und dann mit 100100. Zum Schluss wird noch durch G\color{#7458C1}G geteilt.
Wp=G100pW=Gp100100W100=Gp:G100WG=p \begin{alignedat}{3} &\frac{\color{#83B7E8}W}{\color{#FFB916}p}&&=\frac{\color{#7458C1}G}{100} &&|\cdot \color{#FFB916}p \\ \Rightarrow& {\color{#83B7E8}W}&&=\frac{{\color{#7458C1}G} \cdot \color{#FFB916}p}{100} &&| \cdot 100 \\ \Rightarrow& {\color{#83B7E8}W} \cdot 100&&={\color{#7458C1}G} \cdot \color{#FFB916}p \qquad &&|: {\color{#7458C1}G} \\ \Rightarrow& \frac{100\cdot \color{#83B7E8}W}{\color{#7458C1}G}&&=\color{#FFB916}p&& \end{alignedat}

In einigen Lehrbüchern wird zur Prozentzahl auch Prozentfuß gesagt, beide Begriffe bedeuten dasselbe und können damit synonym verwendet werden.

Aus der Relation mit der Prozentzahl p100=p%\frac{\color{#FFB916}p}{100}=\color{#FFB916}p \% ergibt sich schließlich:

Die Formel für den Prozentsatz:
p%=WG{\color{#FFB916}p\%}=\frac{\color{#83B7E8}W}{\color{#7458C1}G}

Berechnung des Prozentsatzes

Möchte man wissen, “wie viel Prozent 5 von 20 sind”, so sucht man den Prozentwert.

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