Äquivalenzumformungen

Komplizierte Ausdrücke für eigentlich einfache Sachen zu finden, scheint eine Leidenschaft von Mathematikern zu sein. Denn so knifflig sich der Begriff “Äquivalenzumformung” anhört, desto einfach ist eigentlich, was damit gemeint ist. In diesem Artikel erklären wir dir, was Äquivalenzumformungen sind und wo du sie gebrauchen kannst.

Das Wort “Äquivalenz” stammt aus dem lateinischen und heißt soviel wie “Gleichbedeutend”. Eine Äquivalenzumformung bedeutet demnach nichts anderes als eine Gleichung so umzustellen, dass sie gleichbedeutend bleibt. Die Lösung der Gleichung darf sich also nicht ändern.

Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung bei der sich die Lösung der Gleichung nicht ändert. Um zu kennzeichnen, dass zwei Gleichungen gleichbedeutend, also äquivalent, sind, benutzt man das Zeichen $\iff$. Äquivalenzumformungen braucht man um Gleichungen zu lösen.

Äquivalenzumformungen sind:

Addieren/Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung

Addieren/Subtrahieren des gleichen Vielfachen von $x$ auf beiden Seiten der Gleichung

Multiplikation mit derselben Zahl ungleich Null auf beiden Seiten der Gleichung

Dividieren mit derselben Zahl ungleich Null auf beiden Seiten der Gleichung

Um deutlich zu machen, welche Äquivalenzumformung beim Umstellen der Gleichung stattfindet, wird diese in der Regel mit einem " $|$ " gekennzeichnet. Hinter diesem Hochstrich wird dann die Rechenoperation notiert, die auf beiden Seiten der Gleichung angewandt wird. Lasst uns anhand eines Beispiel verdeutlichen, was damit gemeint ist!

Beispiel Äquivalenzumformung

Um zu verstehen, was jetzt genau eine Äquivalenzumformung ist, betrachten wir die folgende lineare Gleichung:

$$\begin{aligned} 3 \cdot x +3= x +7 \end{aligned}$$

Wenn wir uns diese Gleichung an Hand einer Waage veranschaulichen, sieht dies so aus:

Beide Seiten der Gleichung sind gleich schwer, die Waage befindet sich daher im Gleichgewicht. Um die Gleichung nach $x$ auf zu lösen, müssen wir es schaffen, dass die Variable $x$ alleine auf einer Seite der Gleichung steht. Dazu müssen wir die Gleichung umformen. Allerdings soll die Waage nach jedem Umformungsschritt weiter im Gleichgewicht bleiben, deshalb müssen wir ein wenig aufpassen, welche Rechenoperationen wir durchführen. Nur wenn die Waage nach einer Umformung im Gleichgewicht bleibt, haben wir eine Äquivalenzumformung durchgeführt. Herrscht nach einer Umformung ein Ungleichgewicht, hat sich die Lösung der Gleichung verändert. Wir erhalten dann also ein fehlerhaftes Ergebnis!

Um diese Gleichung nach $x$ auf zu lösen, orientieren wir uns an dem Schema das wir in dem Artikel zum lösen linearer Gleichung, in denen die Variable mehrfach vorkommt gelernt haben. Wir bringen also zunächst alle $x$ auf eine Seite, dazu rechnen wir $-x$ auf beiden Seiten der Gleichung:

$$\begin{aligned} 3 \cdot x +3= x +7 \qquad \qquad | -x\end{aligned}$$

Wir nehmen also ein Kügelchen mit dem $x$ von der linken und von der rechten Waagschale weg. Die Waage bleibt dadurch im Gleichgewicht.

Durch die Äquivalenzumformung hat sich unsere ursprüngliche Gleichung zu

$$\begin{aligned} &3 \cdot x +3&=&\ x +7 \qquad \qquad | -x\\ \iff &2 \cdot x +3&=&\ 7 \end{aligned}$$

verändert.

Um $x$ zu isolieren, wollen wir nun die Gewichte mit der “1” auf der linken Seite der Waage wegbekommen. Wie Anfangs bereits erwähnt, ist es ganz wichtig, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Umformung vornehmen. Rechnen wir auf der linken Seite einfach nur “-3” und auf der rechten Seite nichts, ist die Waage nicht mehr im Gleichgewicht. Dann hat sich die Lösung unserer Gleichung verändert und wir bekommen ein falsches Ergebnis:

Wir müssen daher auch auf der rechten Seite der Gleichung “-3” rechnen.

$$\begin{aligned} 2 \cdot x +3= 7 \qquad \qquad | -3\end{aligned}$$

Dann bleibt das Verhältnis beider Seiten gleich und die Waage im Gleichgewicht.

In Formelschreibweise sieht unsere Gleichung nun so aus:

$$\begin{aligned} &3 \cdot x +3&=&\ x +7 \qquad \qquad &|-x\\ \iff &2 \cdot x +3&=&\ 7 \qquad \qquad &|-3\\ \iff &2 \cdot x &=&\ 4 \end{aligned}$$

Wir sind nun schon fast am Ziel. Um $x$ komplett zu isolieren, müssen wir noch durch “2” dividieren:

$$\begin{aligned} 2 \cdot x = 4 \qquad \qquad | :2\end{aligned}$$

Wir halbieren also den Inhalt beider Waagschalen. Auch das ist eine Äquivalenzumformung und wir erhalten folgendes Ergebnis:

Die Lösung der obigen Gleichung ist also:

$$\begin{aligned} &3 \cdot x +3&=&\ x +7 \qquad \qquad &|-x\\ \iff &2 \cdot x +3&=&\ 7 \qquad \qquad &|-3\\ \iff &2 \cdot x &=&\ 4 \qquad \qquad &|:2\\ \iff &x &=&\ 2 \end{aligned}$$

Wir können nun noch die Probe durchführen. Dazu setzen wir unsere Lösung $x=2$ in die ursprüngliche Gleichung $3\cdot x+3=x+7$ ein. Die Probe ergibt $3 \cdot 2 +3 = 9 = 2 +7$. Unsere Lösung ist also korrekt. 👍

Fragen und Antworten

Was ist eine Äquivalenzumformung?

Als eine Äquivalenzumformung wird das Umstellen einer Gleichung bezeichnet, bei der sich die Lösung der Gleichung nicht ändert.

Welche Operationen sind Äquivalenzumformungen?

Äquivalenzumformungen sind:
$\rightarrow$ Addieren/Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung
$\rightarrow$ Addieren/Subtrahieren des gleichen Vielfachen von $x$ auf beiden Seiten der Gleichung
$\rightarrow$ Multiplikation mit derselben Zahl ungleich Null auf beiden Seiten der Gleichung
$\rightarrow$ Dividieren mit derselben Zahl ungleich Null auf beiden Seiten der Gleichung

Ist die Multiplikation mit $0$ eine Äquivalenzumformung?

Nein, denn die Lösungsmenge der Gleichung bleibt nicht gleich.

Ist die Multiplikation mit $x$ eine Äquivalenzumformung?

Nein, grundsätzlich nicht, denn $x=0$ könnte die Lösung der Gleichung sein. In diesem Fall wäre die Multiplikation mit $x$ keine Äquivalenzumformung. Ist $x\neq 0$ ist die Multiplikation mit $x$ jedoch sehr wohl eine Äquivalenzumformung. Es kann also hilfreich sein die beiden Fälle zu unterscheiden.

Das könnte dich auch interessieren

Stefan Vickers

Schriftlich Multiplizieren einfach erklärt

Verstehe wie die schriftliche Multiplikation funktioniert und stelle dir individuelle Übungsblätter samt Lösungen zum Thema zusammen.

30.11.2023·Grundrechenarten erklärt

bookmark_border

more_horiz

Florian Thüroff

Binomische Formeln lösen – Tricks und Techniken zu grundlegenden Aufgaben

Binomische Formeln lösen: Sicher und effektiv. Lerne an 9 Beispielen alle Tricks und Techniken um typische Aufgaben zu binomischen Formeln zu meistern.

09.05.2023·Binomische Formeln

bookmark_border

more_horiz

Florian Thüroff

Binomische Formeln und deren Anwendung verstehen

Wir erklären dir was die binomischen Formeln sind, wo sie herkommen und wozu man die binomischen Formeln braucht

09.05.2023·Binomische Formeln

bookmark_border

more_horiz

Stefan Vickers

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) - leicht erklärt

Lass dir erklären wie du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen findest und übe Aufgaben dazu mit Hilfe unseres Aufgabengenerators.

09.05.2023· GGT

bookmark_border

more_horiz

Stefan Vickers

Primfaktorzerlegung - einfach erklärt

Du möchtest wissen wie die Primfaktorzerlegung funktioniert? Wir erklären dir Schritt für Schritt wie du das Thema in der Schule meistern kannst und in welcher Technologie die Methode heute noch verwendet wird.

09.05.2023·Primfaktorzerlegung

bookmark_border

more_horiz

Florian Thüroff

Schneller Kopfrechnen: Vielfache von 5 in Rekordzeit quadrieren

Verbessere deine Kopfrechenleistung und lerne Zahlen in Rekordzeit zu quadrieren. Der Trick funktioniert für zweistellige Vielfache der Zahl 5.

09.05.2023·Kopfrechnen

bookmark_border

more_horiz

Florian Thüroff

Schriftliches Dividieren einfach erklärt

Wir erklären dir die schriftliche Division mit und ohne Rest und geben dir Tipps und Tricks wie du die schriftliche Division meistern kannst

09.05.2023·Grundrechenarten erklärt

bookmark_border

more_horiz

Mehr zu natürlichen Zahlen

Du suchst detailierte Informationen, wie zum Beispiel alle Teiler oder die Vielfachenmenge, zu einer bestimmten natürlichen Zahl? Dann wirst du hier fündig.

1-20

21-40

41-60

61-80

81-100

101-120

121-140

141-160

161-180

181-200