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Äquivalenzumformungen

Linus Haertel·18.10.2022

Komplizierte Ausdrücke für eigentlich einfache Sachen zu finden, scheint eine Leidenschaft von Mathematikern zu sein. Denn so knifflig sich der Begriff “Äquivalenzumformung” anhört, desto einfach ist eigentlich, was damit gemeint ist. In diesem Artikel erklären wir dir, was Äquivalenzumformungen sind und wo du sie gebrauchen kannst.

Das Wort “Äquivalenz” stammt aus dem lateinischen und heißt soviel wie “Gleichbedeutend”. Eine Äquivalenzumformung bedeutet demnach nichts anderes als eine Gleichung so umzustellen, dass sie gleichbedeutend bleibt. Die Lösung der Gleichung darf sich also nicht ändern.

Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung bei der sich die Lösung der Gleichung nicht ändert. Um zu kennzeichnen, dass zwei Gleichungen gleichbedeutend, also äquivalent, sind, benutzt man das Zeichen     \iff. Äquivalenzumformungen braucht man um Gleichungen zu lösen.

Äquivalenzumformungen sind:
  • Addieren/Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung
  • Addieren/Subtrahieren des gleichen Vielfachen von xx auf beiden Seiten der Gleichung
  • Multiplikation mit derselben Zahl ungleich Null auf beiden Seiten der Gleichung
  • Dividieren mit derselben Zahl ungleich Null auf beiden Seiten der Gleichung
  • Um deutlich zu machen, welche Äquivalenzumformung beim Umstellen der Gleichung stattfindet, wird diese in der Regel mit einem " | " gekennzeichnet. Hinter diesem Hochstrich wird dann die Rechenoperation notiert, die auf beiden Seiten der Gleichung angewandt wird. Lasst uns anhand eines Beispiel verdeutlichen, was damit gemeint ist!

    Beispiel Äquivalenzumformung

    Um zu verstehen, was jetzt genau eine Äquivalenzumformung ist, betrachten wir die folgende lineare Gleichung:

    3x+3=x+7 \begin{aligned} 3 \cdot x +3= x +7 \end{aligned}

    Wenn wir uns diese Gleichung an Hand einer Waage veranschaulichen, sieht dies so aus:

    Äquivalenzumformungen Gleichgewicht

    Beide Seiten der Gleichung sind gleich schwer, die Waage befindet sich daher im Gleichgewicht. Um die Gleichung nach xx auf zu lösen, müssen wir es schaffen, dass die Variable xx alleine auf einer Seite der Gleichung steht. Dazu müssen wir die Gleichung umformen. Allerdings soll die Waage nach jedem Umformungsschritt weiter im Gleichgewicht bleiben, deshalb müssen wir ein wenig aufpassen, welche Rechenoperationen wir durchführen. Nur wenn die Waage nach einer Umformung im Gleichgewicht bleibt, haben wir eine Äquivalenzumformung durchgeführt. Herrscht nach einer Umformung ein Ungleichgewicht, hat sich die Lösung der Gleichung verändert. Wir erhalten dann also ein fehlerhaftes Ergebnis!

    Um diese Gleichung nach xx auf zu lösen, orientieren wir uns an dem Schema das wir in dem Artikel zum lösen linearer Gleichung, in denen die Variable mehrfach vorkommt gelernt haben. Wir bringen also zunächst alle xx auf eine Seite, dazu rechnen wir x-x auf beiden Seiten der Gleichung:

    3x+3=x+7x \begin{aligned} 3 \cdot x +3= x +7 \qquad \qquad | -x\end{aligned}

    Wir nehmen also ein Kügelchen mit dem xx von der linken und von der rechten Waagschale weg. Die Waage bleibt dadurch im Gleichgewicht.

    Äquivalenzumformungen Gleichgewicht

    Durch die Äquivalenzumformung hat sich unsere ursprüngliche Gleichung zu

    3x+3= x+7x    2x+3= 7 \begin{aligned} &3 \cdot x +3&=&\ x +7 \qquad \qquad | -x\\ \iff &2 \cdot x +3&=&\ 7 \end{aligned}

    verändert.

    Um xx zu isolieren, wollen wir nun die Gewichte mit der “1” auf der linken Seite der Waage wegbekommen. Wie Anfangs bereits erwähnt, ist es ganz wichtig, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Umformung vornehmen. Rechnen wir auf der linken Seite einfach nur “-3” und auf der rechten Seite nichts, ist die Waage nicht mehr im Gleichgewicht. Dann hat sich die Lösung unserer Gleichung verändert und wir bekommen ein falsches Ergebnis:

    Äquivalenzumformung Ungleichgewicht

    Wir müssen daher auch auf der rechten Seite der Gleichung “-3” rechnen.

    2x+3=73 \begin{aligned} 2 \cdot x +3= 7 \qquad \qquad | -3\end{aligned}

    Dann bleibt das Verhältnis beider Seiten gleich und die Waage im Gleichgewicht.

    Äquivalenzumformung Gleichgewicht

    In Formelschreibweise sieht unsere Gleichung nun so aus:

    3x+3= x+7x    2x+3= 73    2x= 4 \begin{aligned} &3 \cdot x +3&=&\ x +7 \qquad \qquad &|-x\\ \iff &2 \cdot x +3&=&\ 7 \qquad \qquad &|-3\\ \iff &2 \cdot x &=&\ 4 \end{aligned}

    Wir sind nun schon fast am Ziel. Um xx komplett zu isolieren, müssen wir noch durch “2” dividieren:
    2x=4:2 \begin{aligned} 2 \cdot x = 4 \qquad \qquad | :2\end{aligned}

    Wir halbieren also den Inhalt beider Waagschalen. Auch das ist eine Äquivalenzumformung und wir erhalten folgendes Ergebnis:

    Äquivalenzumformung Gleichgewicht

    Die Lösung der obigen Gleichung ist also:

    3x+3= x+7x    2x+3= 73    2x= 4:2    x= 2 \begin{aligned} &3 \cdot x +3&=&\ x +7 \qquad \qquad &|-x\\ \iff &2 \cdot x +3&=&\ 7 \qquad \qquad &|-3\\ \iff &2 \cdot x &=&\ 4 \qquad \qquad &|:2\\ \iff &x &=&\ 2 \end{aligned}

    Wir können nun noch die Probe durchführen. Dazu setzen wir unsere Lösung x=2x=2 in die ursprüngliche Gleichung 3x+3=x+73\cdot x+3=x+7 ein. Die Probe ergibt 32+3=9=2+73 \cdot 2 +3 = 9 = 2 +7. Unsere Lösung ist also korrekt. 👍

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