Trainingscenter
Mathe Erklärt
👍 Uns unterstützen
Anmelden
Kostenlos Registrieren

Lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen, in denen die Variable einmal vorkommt

Linus Haertel·18.10.2022

Löse die lineare Gleichung 25x5=2025x-5 = 20 nach xx auf! Diese oder ähnliche Aufgaben müssen jährlich von Millionen von Schülern bearbeitet werden. Aber wie genau geht man hier vor? In diesem Artikel findest du eine sorgfältige Anleitung, wie du Schritt für Schritt lineare Gleichungen löst. Solltest du dich fragen, was lineare Gleichungen überhaupt sind und wozu man sie verwendet, findest du hier eine umfassende Einführung in das Thema.

Bist du nicht auf der Suche nach Erklärungen sondern nach Aufgaben zum Üben? Dann springe gleich zu unserem Aufgabengenerator und drucke dir kostenlos so viele Übungsblätter als PDF 📃 aus wie du rechnen kannst.

Voraussetzungen zum Lösen von linearen Gleichungen mit einer Variablen - Das solltest du können

Um lineare Gleichungen mit einer Variablen sicher lösen und aufstellen zu können, brauchst du nicht viel Vorwissen. Solltest du mit einem der Themen jedoch noch Schwierigkeiten haben, findest du auf unserer Seite nützliche Informationen dazu und du kannst dir über unseren Aufgabengenerator natürlich kostenlos so viele Übungsaufgaben ausdrucken wie du möchtest.

Dividieren und Multiplizieren im Kopf

Grundschule (3. und 4. Klasse)
  • Um lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen zu können, solltest du sicher beim Dividieren und Multiplizieren im Kopf sein

Bruchrechnung

Weiterführende Schulen (5. Klasse)
  • Du solltest keine Angst vor Bruchrechnung haben, denn Brüche können immer wieder in linearen Gleichungen auftauchen

Das Kochrezept: Lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen, in denen die Variable einmal vorkommt 🚀

Wie löst man nun konkret eine lineare Gleichung? Zum Glück gibt es dafür ein einfaches Schema, welches wir anhand eines Beispiels Schritt-für-Schritt durchgehen werden. Betrachten wir die eingangs erwähnte Gleichung:

25x5=20 \begin{aligned} 25 \cdot x -5 = 20 \end{aligned}

Wenn man davon spricht eine lineare Gleichung zu lösen, heißt dies nichts anderes als die Gleichung nach xx aufzulösen. Man will also, dass das xx alleine auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. Mit dieser Idee im Hinterkopf, lasst uns anfangen!

Schritt 1: Alle Summanden und Subtrahenden auf die Seite des Gleichheitszeichens bringen, wo x NICHT steht👈

In unserem Beispiel muss nur noch die “-5” auf die andere Seite gebracht werden. Die “+20” steht bereits auf der richtigen Seite, nämlich dort, wo xx nicht vorkommt.

Um die “-5” auf die andere Seite des Gleichheitszeichen zu bringen, führen wir eine Äquivalenzumformung durch. Nämlich addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung “+5”:

Lineare Gleichungen lösen erster Schritt: Alle Summanden und Subtrahenden auf die Seite des Gleichheitszeichens bringen, wo x NICHT steht

Schritt 2: Die Gleichung vereinfachen 👈

Wenn du später erfahrener im Umgang mit linearen Gleichungen bist, wirst du diesen Schritt wahrscheinlich automatisch machen und musst ihn so nicht explizit aufschreiben. Für den Anfang hilft es aber zu verstehen, was überhaupt passiert.

Auf beiden Seiten der Gleichung wurde “+5” addiert. Dies verrechnen wir nun mit den Zahlen, die schon vorher dort standen:

Lineare Gleichungen lösen zweiter Schritt: Die Gleichung vereinfachen

Auf der linken Seite der Gleichung steht nun “-5+5”. Dies ergibt offensichtlich Null und war ja gerade die Idee hinter der Operation “+5”. Das xx steht nun nämlich schon fast alleine auf der linken Seite der Gleichung:

Lineare Gleichungen lösen zweiter Schritt: Die Gleichung vereinfachen

Schritt 3: Durch Vorfaktor von x teilen 👈

Der Vorfaktor von xx ist die Zahl mit der xx multipliziert wird. Hier ist es also die Zahl “25”. Durch diese Zahl teilen wir nun beide Seiten der Gleichung damit xx vollständig isoliert steht:

Lineare Gleichungen lösen dritter Schritt: Durch Vorfaktor von x teilen

Dies sieht dann so aus:

Lineare Gleichungen lösen dritter Schritt: Durch Vorfaktor von x teilen

Schritt 4: Die Lösung aufschreiben 👈

Da wir durch den Vorfaktor von xx geteilt haben, steht xx nun mit Vorfaktor “1” auf der linken Seite der Gleichung. Die “1” lässt man weg, denn es gilt 1x=x1 \cdot x = x. Unsere Variable xx ist damit vollständig isoliert. Nun müssen wir nur noch die rechte Seite der Gleichung ausrechnen und die Lösung notieren. Wir haben Glück und teilen auf der rechten Seite der Gleichung ebenfalls 25 durch 25. Damit haben wir die Lösung:

Lineare Gleichungen lösen vierter Schritt: Die Lösung aufschreiben

Schritt 5: Probe durchführen 👈

Als letztes führen wir eine Probe durch um sicher zu gehen, dass unsere Lösung richtig ist. Dazu setzen wir die von uns aus gerechnete Lösung x=1x=1 in die ursprüngliche Gleichung 25x5=2025 \cdot x -5 = 20 ein:

Lineare Gleichungen lösen fünfter Schritt: Probe

Ausrechnen ergibt 20=2020=20, was eine wahre Aussage ist. Unsere Lösung stimmt also! 👍
Dieses Beispiel war ziemlich einfach, sollte dir aber das Vorgehen zum Lösen einer linearen Gleichung gezeigt haben. Jetzt bist du gefragt, zeige dein Wissen und löse lineare Gleichungen in unserem Aufgabengenerator.

Lineare Gleichungen - Aufgaben mit Lösungen

Falls du gerne das Lösen von linearen Gleichungen üben möchtest, findest du hier passende Aufgaben zu unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden.

Hier steht ein erklärender Text zum Bild

Aufgaben-Tool

Erstelle dir kostenlos Übungsblätter zu linearen Gleichungen

Hier steht ein erklärender Text zum Bild

Trainingscenter

Übe das Lösen linearer Gleichungen in unserem Trainingscenter

Fragen und Antworten

Mehr zu natürlichen Zahlen

Du suchst detailierte Informationen, wie zum Beispiel alle Teiler oder die Vielfachenmenge, zu einer bestimmten natürlichen Zahl? Dann wirst du hier fündig.