Lineare Gleichungen mit unendlich vielen Lösungen

Hat eigentlich jede lineare Gleichung genau eine Lösung?🤔 Nein! Während einige lineare Gleichungen keine Lösung haben, gibt es auch lineare Gleichungen, die unendlich viele Lösungen haben. Woran du solche Gleichungen erkennst und was es bedeutet, wenn eine lineare Gleichung unendlich viele Lösungen hat, erfährst du in diesem Artikel.

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Lineare Gleichungen - Beispiele

Um lineare Gleichungen mit $\textbf{unendlich vielen}$ Lösung zu verstehen, lass uns zunächst eine lineare Gleichung mit $\textbf{genau einer}$ Lösung betrachten. Dadurch werden die Unterschiede klarer und leichter zu verstehen. 😀

Lineare Gleichung mit genau einer Lösung - Beispiel

Lasst uns also mit einer linearen Gleichung mit genau einer Lösung anfangen. Dazu schauen wir uns folgende lineare Gleichung an, die wir nach $x$ auflösen wollen:

Wenn wir uns die Gleichung als Waage vorstellen, erhalten wir folgendes Bild:

Diese linearen Gleichungen können wir nach dem Schema zum Lösen von linearen Gleichungen, in denen die Variable mehrfach vorkommt nach $x$ auflösen. Da das Beispiel sehr einfach ist, müssen wir lediglich eine Äquivalenzumformung durchführen. Wir subtrahieren auf beiden Seiten der Gleichung ein $x$ und erhalten:

$$\begin{aligned} x =1 \end{aligned}$$

Im Bild mit der Waage haben wir also von der linken, als auch von der rechten Waagschale, jeweils ein $x$ entfernt. Wir erhalten dann natürlich das gleiche Ergebnis, $x$ ist genauso schwer wie “1”. Also muss $x$ auch “1” sein:

Bei einer linearen Gleichung $\textbf{mit genau einer}$ Lösung ist die Waage für den korrekten Wert der Variable also stets im Gleichgewicht, da beide Seiten der linearen Gleichung den gleichen Wert haben. Durch Äquivalenzumformungen ist es möglich die Variable zu isolieren und so die Lösungsmenge zu bestimmen.

Lineare Gleichung mit unendlich vielen Lösungen - Beispiel

Nun gucken wir uns ein anderes Beispiel an, dazu ändern wir die ursprüngliche Gleichung etwas ab. Statt $2x=x+1$ betrachten wir jetzt:

$$\begin{aligned} x +1 =x+1 \end{aligned}$$

Wenn wir uns dieses Beispiel mit Hilfe der Darstellung von der Waage veranschaulichen, wird uns klar, dass die Gleichung immer aufgeht. Unabhängig davon, was wir für $x$ einsetzen ist die Waage immer im Gleichgewicht!

In beiden Waagschalen liegt genau ein $x$ und ein Gewicht mit der “1”. Die beiden Waagschalen können unmöglich unterschiedlich schwer sein. Noch deutlicher wird es, wenn wir von beiden Waagschalen jeweils ein Gewicht mit der “1” entfernen. Diese Umformung ändert das Verhältnis der beiden Waagschalen nicht. Dann erhalten wir:

Unsere Variable $x$ muss also genauso schwer sein, wie sie selbst. Dies ist offensichtlich immer erfüllt. Wir können sogar noch einen Schritt weiter gehen und von beiden Seiten das $x$ entfernen. Auch diese Umformung ändert nichts an dem Verhältnis. Nun haben wir zwei leere Waagschalen.

Unter der Annahme, dass die Waage funktioniert, sind die beiden leeren Waagschalen natürlich gleich schwer. Im Bezug auf unsere Gleichung $x+1=x+1$ können wir sagen, dass diese Gleichung gleichbedeutend mit $0=0$ ist, einer Aussage, die definitiv stimmt. Es ist also total egal, was wir für $x$ einsetzen. Die Gleichung ist immer erfüllt. Es gibt daher unendlich viele Lösungen für die lineare Gleichung. Damit du weißt, wann eine lineare Gleichung unendlich viele Lösung hat, solltest du dir folgendes merken:

Wird eine lineare Gleichung durch Äquivalenzumformungen zu einer allgemein gültigen Aussage geführt, hat die lineare Gleichung unendlich viele Lösung.

Es ist übrigens bei dieser Aufgabe egal, ob du zuerst auf beiden Seiten der Gleichung “-1” rechnest oder “-x”. Subtrahierst du zunächst $x$ auf beiden Seiten der Gleichung erhältst du die gleichbedeutende Gleichung $1=1$ die offensichtlich auch allgemein gültig ist. Du kannst natürlich bei einer Aussage wie $x=x$ oder $1=1$ schon aufhören und folgern, dass die lineare Gleichung unendlich viele Lösungen hat. Wir wollten aus Anschauungszwecken die Waage nur einmal komplett leer räumen. 😉

Was mache ich, wenn die lineare Gleichung unendlich viele Lösung hat?

Wenn du nun eine lineare Gleichung nach $x$ auflösen willst und zu dem Schluss gekommen bist, dass diese Gleichung unendlich viele Lösung hat, ist es wichtig das auch zu notieren. Manchmal siehst du einer Gleichung sogar direkt an, dass sie für jedes $x$ aufgeht. Trotzdem ist es wichtig deine Überlegungen auf zu schreiben. Bei unserem Beispiel von oben könnte das dann beispielsweise so aussehen:

Bereits bei der Gleichung $x=x$ zu folgern, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat ist völlig ausreichend. Du kannst auch auf beiden Seiten der Gleichung $x$ subtrahieren und aus der Aussage $1=1$ folgern, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat. Hier gibt es wie du siehst mehrere Möglichkeiten.😉 Alternativ zum Antwortsatz kannst du auch die Lösungsmenge angeben, diese ist bei einer linearen Gleichung mit unendlich vielen Lösungen die ganze Menge und du schreibst $L=\mathbb{Q}$.

Fragen und Antworten

Ist es möglich, dass eine lineare Gleichung genau eine Lösung hat?

Ja! Dies ist der Normalfall. Ein Beispiel für eine lineare Gleichung mit genau einer Lösung ist: $2x = 4$. Mit Lösung $x=2$.

Ist es möglich, dass eine lineare Gleichung keine Lösung hat?

Ja! In besonderen Fällen kann es vorkommen, dass eine lineare Gleichung unlösbar ist - egal was man für $x$ einsetzt. Dies ist immer dann der Fall, wenn die lineare Gleichung durch Äquivalenzumformungen zu einem Widerspruch geführt werden kann. Ein Beispiel für eine lineare Gleichung ohne Lösung ist: $x = x+2$.

Ist es möglich, dass eine lineare Gleichung unendlich Lösungen hat?

Ja! Wenn die lineare Gleichung durch Äquivalenzumformungen zu einer allgemeingültigen Aussage geführt werden kann, hat die lineare Gleichung unendlich viele Lösungen. Ein Beispiel für eine lineare Gleichung mit unendlich vielen Lösungen ist: $x=x$.

Ist es möglich, dass eine lineare Gleichung genau $n \in \mathbb{N}$ Lösungen hat?

Prinzipiell schon, aber das ist dann ein besonderer Extremfall! Damit eine lineare Gleichung genau $n$ Antwortmöglichkeiten hat, muss die Menge an möglichen Werten für $x$ stark eingeschränkt werden. Man betrachtet, dann eine allgemeingültige Gleichung wie $x = x$. Begrenzt die Anzahl der möglichen Werte für $x$ aber auf $n$. Zum Beispiel durch die zusätzliche Information, dass $x \in \mathbb{N}_{<n+1}$ gilt. Die Variable $x$ muss also ein Element aus den natürlichen Zahlen sein und kleiner als $n+1$. Es bleiben, daher nur die Werte $1,2,\dots, n$ übrig. Ohne solche Einschränkungen ist es $\textbf{nicht}$ möglich, dass eine lineare Gleichung genau $n$ Lösungen hat.

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