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Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen lösen

Linus Haertel·18.10.2022

Du denkst du hast das Lösen von linearen Gleichungen endlich gemeistert und plötzlich siehst du mehrere Variablen in deiner Gleichung?😨 Keine Angst, denn auch solche Gleichungen sind lösbar. In diesem Artikel zeigen wir dir wie es geht, ganz langsam Schritt für Schritt.

Falls du noch nicht genau weißt, was eine lineare Gleichung mit mehreren Variablen ist und wozu du sie brauchst, findest du in diesem Artikel eine ausführliche Einleitung zum Thema lineare Gleichungen mit mehreren Variablen.

Bist du nicht auf der Suche nach Erklärungen sondern nach Aufgaben zum Üben? Dann springe gleich zu unserem Aufgabengenerator und drucke dir kostenlos so viele Übungsblätter als PDF 📃 aus wie du rechnen kannst.

Voraussetzungen zum Lösen von linearen Gleichungen mit mehreren Variablen - Das solltest du können

Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen sind quasi der Endgegner unter allen linearen Gleichungen. Um daher lineare Gleichungen mit mehreren Variablen zu lösen, solltest du bereits ziemlich fit im Umgang mit linearen Gleichungen sein. Ansonsten brauchst du allerdings kaum weitere Vorkenntnisse. Falls du mit einem der Themen jedoch noch Schwierigkeiten hast, findest du auf unserer Seite nützliche Informationen dazu und du kannst dir über unseren Aufgabengenerator natürlich kostenlos so viele Übungsaufgaben ausdrucken wie du rechnen kannst.

Dividieren und Multiplizieren im Kopf

Grundschule (3. und 4. Klasse)
  • Um lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen zu können, solltest du sicher beim Dividieren und Multiplizieren im Kopf sein

Bruchrechnung

Weiterführende Schulen (5. Klasse)
  • Du solltest keine Angst vor Bruchrechnung haben, denn Brüche können immer wieder in linearen Gleichungen auftauchen.

Lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen

Weiterführende Schulen (7. Klasse)
  • Bevor du lineare Gleichungen mit mehreren Variablen löst, solltest du wissen, wie man einfache lineare Gleichungen mit einer Variablen löst. Wenn du dir noch nicht ganz sicher bist, wie man einfache lineare Gleichungen löst, findest du hier eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Anleitung. Außerdem ist es hilfreich auch lineare Gleichungen mit Klammern lösen zu können, da Klammern auch bei mehreren Variablen immer mal wieder vorkommen können.

Lineare Gleichung mit einer Variablen lösen, in der die Variable mehrfach vorkommt

Weiterführende Schulen (7. Klasse)
  • In linearen Gleichungen mit mehreren Variablen kommen die einzelnen Variablen auch häufig mehrfach vor. Daher ist es sinnvoll sich zunächst anzugucken, wie lineare Gleichungen mit einer Variable gelöst werden, wenn dort die Variable mehrfach vorkommt. Eine ausführlich Anleitung dazu findest du hier

Das Kochrezept: Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen lösen 🚀

Um zu verstehen, wie lineare Gleichungen mit mehreren Variablen gelöst werden können, gucken wir uns folgende Gleichung an:

3(x2)+4=x3y \begin{aligned} 3 \cdot (x-2) +4=x - 3y \end{aligned}

Wir sehen, dass es zwei Variablen gibt: xx und yy. Die Variable xx kommt sowohl auf der linken, als auch auf der rechten Seite der Gleichung vor. Die Variable yy steht nur auf der rechten Seite der Gleichung. Es wird nur selten vorkommen, dass du lineare Gleichungen mit mehr als zwei Variablen lösen musst. Warum erfährst du am Ende dieses Artikels. 😀

Da die lineare Gleichung zwei Variablen hat, gibt es auch zwei Möglichkeiten diese Gleichung auf zu lösen. Du kannst diese Gleichung entweder nach xx oder nach yy umstellen. Wir wollen diese Gleichung nach xx auflösen. Genauso gut ist aber auch ein Lösen nach yy möglich. Das Vorgehen zum Lösen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ist prinzipiell das gleiche, wie wenn wir eine lineare Gleichung mit nur einer Variablen lösen wollen. Wir versuchen, dass die Variable xx alleine auf einer Seite der Gleichung steht und packen alles andere auf die andere Seite der Gleichung. Also lasst uns anfangen!

Schritt 1: Klammer auflösen 👈

Zunächst müssen wir die Klammer auflösen, damit wir besseren Zugriff auf die einzelnen Bestandteile der linearen Gleichung haben. Dazu multiplizieren wir die Klammer aus. Dies ist der einfachste Weg um die Klammer los zu werden und in diesem Fall auch der beste. Manchmal bietet es sich auch an beide Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor der Klammer zu teilen, in unserem Beispiel ist dies aber nicht der Fall. Damit so etwas gut funktioniert müssen alle Koeffizienten in der Gleichung vielfache des Vorfaktors sein (z.B 2(x+3)4=2x+8y2 \cdot (x+3) -4 = 2x +8y).

Einfaches ausmultiplizieren der Klammer ergibt dann:

Lineare Gleichung mit mehreren Variablen lösen Schritt 1: Klammern ausmultiplizieren

Schritt 2: Alle x auf eine Seite der Gleichung bringen 👈

Genau wie beim Lösen einer linearen Gleichung mit nur einer Variablen bringen wir jetzt alle xx auf eine Seite der Gleichung. Willst du die Gleichung nach yy auflösen, bringst du natürlich alle yy auf eine Seite der Gleichung.

Wir wollen in unserem Beispiel alle xx auf die linke Seite der Gleichung bringen. Um dies zu erreichen, führen wir eine Äquivalenzumformung durch und subtrahieren ein xx auf beiden Seiten der Gleichung, außerdem verrechnen wir die “-6” mit der “+4”:

Lineare Gleichung mit mehreren Variablen lösen Schritt 2: Alle x auf eine Seite der Gleichung bringen

Einfaches ausrechnen ergibt dann:

Lineare Gleichung mit mehreren Variablen lösen Schritt 2: Alle x auf eine Seite der Gleichung bringen

Schritt 3: Alle Summanden/Subtrahenden auf die Seite bringen, wo x NICHT steht 👈

Damit wir unsere Variable xx vollständig isolieren können, müssen wir nun alle Summanden und Subtrahenden auf die andere Seite bringen. Die Variable yy wird wie ein ganz normaler Summand behandelt, steht aber glücklicherweise schon auf der richtigen Seite der Gleichung. In unserem Beispiel muss daher also nur die “-2” auf die andere Seite der Gleichung:

Lineare Gleichung mit mehreren Variablen lösen Schritt 3: Alle Summanden/Subtrahenden auf die Seite bringen, wo x NICHT steht

Wenn man dies ausrechnet erhält man:

Lineare Gleichung mit mehreren Variablen lösen Schritt 3: Alle Summanden/Subtrahenden auf die Seite bringen, wo x NICHT steht

Schritt 4: Durch Vorfaktor von x teilen 👈

Nun teilen wir durch den Vorfaktor von xx. Dann steht xx ganz alleine auf der linken Seite der Gleichung und wir haben die Aufgabe gelöst. Wir teilen also beide Seiten der Gleichung durch “2”:

Lineare Gleichung mit mehreren Variablen lösen Schritt 4: Durch Vorfaktor von x teilen

Wenn wir dies ausrechnen erhalten wir:

Lineare Gleichung mit mehreren Variablen lösen Schritt 4: Durch Vorfaktor von x teilen

Unsere Lösung sieht nicht besonders schön aus, aber da ist sie. Die Variable xx ist vollständig isoliert! Anders als beim Lösen einer linearen Gleichung mit nur einer Variablen erhalten wir als Lösung keine Zahl, sondern einen Ausdruck der von der anderen Variable yy abhängt.

Schritt 5: Probe durchführen 👈

Um sicher zu gehen, dass unsere Lösung auch wirklich stimmt, führen wir im letzten Schritt noch eine Probe durch. Dazu setzen wir unsere Lösung x=3y+22x= \frac{-3y+2}{2} einfach in die ursprüngliche Gleichung 3(x2)+4=x3y3 \cdot (x-2) +4 = x -3y ein:

Lineare Gleichung mit mehreren Variablen lösen Schritt 5: Probe

Der Ausdruck ist nicht schön, aber so ist es leider häufig, wenn mehrere Variablen auftreten. Einfaches ausmultiplizieren ergibt jedoch:

Lineare Gleichung mit mehreren Variablen lösen Schritt 5: Probe

Die Brüche auf einen Nenner bringen ergibt schließlich:

Lineare Gleichung mit mehreren Variablen lösen Schritt 5: Probe

Da beide Seiten der Gleichung übereinstimmen, haben wir richtig gerechnet und unsere Lösung für xx ist korrekt. Um dir einen ersten Eindruck zu verschaffen, kannst du auch einfach eine beliebige Zahl für yy einsetzen. Wenn die Probe dann aufgeht, hast du gute Chancen, dass du richtig liegst. Trotzdem musst du dann noch einmal die ausführliche Probe mit generellem yy durchführen. Die Gleichung soll ja nämlich für jedes y\textbf{jedes}\ y gelten und nicht nur für eine bestimmte Zahl. Führt das Einsetzen jedoch zu einem Widerspruch hast du auf jeden Fall einen Fehler gemacht oder die Gleichung hat keine Lösung.

Was sagt dir die Lösung jetzt eigentlich? Du kennst jetzt die Beziehung zwischen den Variablen xx und yy! Mit Hilfe der Lösung kannst du direkt sagen, welchen Wert xx hat, wenn du den Wert für yy kennst. Stellst du die Gleichung auch noch nach yy um kannst du auch jeden Wert für yy bestimmen, sofern du weißt was xx ist. Diese Beziehung kann graphisch dargestellt werden.

Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen: graphische Lösungsdarstellung

Die rote Linie stellt die Lösungen dar. Jeder Punkt auf der Geraden, repräsentiert genau eine Lösung der linearen Gleichung. Diese Gerade erhältst du, wenn du indem du einfach zwei Werte für yy in die Lösung für xx einsetzt. In diesem Beispiel haben wir die Werte “2” und “-2” für yy eingesetzt. Die jeweiligen Lösungen für xx sind dann “-2” und “4”. Die Punkte (-2;2) und (4;-2) sind damit Zahlenpaare, die die Gleichung lösen. Diese Zeichnen wir jetzt in einem Koordinatensystem ein und verbinden die Punkte. So erhalten wir alle\textbf{alle} Lösungen dieser linearen Gleichung mit zwei Variablen. Es sind also unendlich viele! Möchtest du nun die Lösung der linearen Gleichung für x=3,5x=3,5 wissen, guckst du einfach nach, welchen yy-Wert die rote Gerade an der Stelle x=3,5x=3,5 hat. Genauso kannst du zu einem beliebigen yy-Wert den zugehörigen xx-Wert finden, der die lineare Gleichung löst. Anstatt zu rechnen, musst du nun lediglich im Koordinatensystem ablesen. Allerdings kann es manchmal schwierig sein den exakten Wert aus dem Koordinatensystem abzulesen. Welchen Wert muss beispielsweise yy haben, wenn x=0,5x=-0,5 gilt damit die Gleichung aufgeht? Die graphische Darstellung bietet dir eine gute erste Abschätzung. Für die finale Antwort musst du in diesem Fall jedoch wieder rechnen.

Eine eindeutige Zahl wirst du übrigens nie\textbf{nie} als Lösung für eine der Variablen, denn die Gleichung hat zwei Unbekannte. Stattdessen hast du unendlich\textbf{unendlich} viele Lösungen. Um die Gleichung eindeutig zu lösen, bräuchtest du noch mehr Informationen. Hast du noch eine zweite Gleichung zur Verfügung bietet sie dir möglicherweise die nötigen Informationen. Dann spricht man von einem linearen Gleichungssystem. In der Regel (natürlich gibt es wie so häufig Ausnahmen 🙄) bekommst du in diesem Fall eindeutige Lösungen für xx und yy. Generell kannst du dir merken:

Hast du mehr als eine Variable und nur eine Gleichung ohne Einschränkungen für die Variablen, ist die Lösung nie eindeutig.

Lineare Gleichungen mit drei oder mehr Variablen

Guckt man sich die graphische Darstellung der Lösung von oben für eine lineare Gleichung mit zwei Variablen an, kann man erahnen, warum lineare Gleichungen mit drei oder noch mehr Variablen wahrscheinlich nicht so häufig auftreten werden. Die graphische Darstellung wird dann nämlich deutlich komplizierter. Statt einer Geraden auf der alle möglichen Kombinationen liegen, erhält man nun eine Ebene. Um das zu verstehen lass uns ein kurzes und sehr einfaches Beispiel mit drei Variablen anschauen:

xyz=0 \begin{aligned} x-y-z = 0 \end{aligned}

Lösen wir diese lineare Gleichung nach xx auf erhalten wir:

x=y+z \begin{aligned}x=y+z \end{aligned}

In einer linearen Gleichung mit nur zwei Variablen können wir eine konkrete Zahl als Lösung für xx angeben, für den Fall, dass xx einen bestimmten Wert annimmt. Wissen wir nun in unserem Beispiel mit drei Variablen, dass xx beispielsweise den Wert x=1x=1 hat, gibt es immer noch unendlich viele Kombinationen von yy und zz, die die Gleichung lösen. Um genau zu sein, liegt nun eine lineare Gleichung mit zwei Variablen vor, nämlich:
y+z=1 \begin{aligned} y+z=1 \end{aligned}

Die Aussagekraft einer solchen linearen Gleichung ist in der Hinsicht also deutlich geringer und wird daher sehr wahrscheinlich nicht so häufig vorkommen.

Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen | Zusammenfassung

Was nimmst du nun mit aus diesem Artikel? Ganz wichtig ist es keine Angst zu bekommen, wenn mehrere Variablen in einer linearen Gleichung auftauchen. Du löst diese Gleichung genau wie eine normale lineare Gleichung mit nur einer Variablen. Die andere Variable betrachtest du beim Lösen einfach nur als einen normalen Summanden oder Subtrahenden, welcher auf die Seite der Gleichung muss, wo die Variable, nach der du auflösen möchtest, nicht steht.

Ganz wichtig ist es auch vertraut mit linearen Gleichungen mit mehreren Variablen zu werden, denn sie sind extrem wichtig. Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen sind nämlich die Grundlage für lineare Gleichungssysteme. Diese haben eine enorme Bedeutung und werden dir sicherlich noch häufiger über den Weg laufen. Daher ist es wichtig viele Übungsaufgaben zu diesem Thema zu machen. In unserem Aufgabengenerator kannst du soviele Aufgaben, wie du möchtest zu diesem Thema bearbeiten und ein echter Experte werden.💪

Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen - Aufgaben mit Lösungen

Wenn du das Lösen von lineare Gleichungen mit mehreren Variablen trainieren möchtest, findest du hier passende Aufgaben zu unterschiedlichen Schwierigkeitstypen.

Hier steht ein erklärender Text zum Bild

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