Beispiel für lineare Gleichungen

Linus Haertel·09.05.2023

Wofür braucht man das eigentlich? Diese Frage stellt man sich vielleicht, wenn man das erste Mal über den Begriff der linearen Gleichungen stolpert. In diesem Artikel lernst du verschiedene Anwendungen von linearen Gleichungen im Alltag. Außerdem untersuchen wir mehrere Gleichungen auf ihre Linearität.

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Lineare Gleichungen im Alltag

Mit Hilfe von 5 Beispielen wollen wir dir im folgenden den Anwendungsbereich von linearen Gleichungen näher bringen. Lineare Gleichungen kann man in fast allen Bereichen nutzen um Probleme zu lösen. Der Hauptgrund, warum man lineare Gleichungen überhaupt verwendet, ist dass sie es ermöglichen komplexe Problemstellungen einfach dar zu stellen und leicht zu lösen.

Beispiel lineare Gleichungen - Projektplanung

Die Unterkunft für eine Schulklasse mit 28 Schülerinnen und Schülern kostet 2730€. Die Frage die sich nun stellt, ist: Wieviel Geld muss jede Person aus der Klasse bezahlen um die Unterkunft zu finanzieren? Um dies heraus zu finden, teilt man die Gesamtkosten von 2730€ durch dich Anzahl der Schülerinnen und Schülern und erhält somit einen Betrag von $2730 : 28 = 97,50$ Euro pro Person. Um dieses Problem zu lösen kann man auch die folgende lineare Gleichung aufstellen:

\begin{aligned} 28 \cdot x = 1000 \end{aligned}

Die Lösung der linearen Gleichung ist dann der Betrag von 97,50€ den jede Person aus der Klasse zahlen muss um die Kosten für die Unterkunft zu decken. Eine Schritt-für-Schritt-Anleitung wie du lineare Gleichungen konkret löst, findest du hier.

Beispiel lineare Gleichungen - Physik

Zwei Züge fahren auf genau der gleichen Bahnstrecke. Der erste Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von $140\frac{\text{km}}{\text{h}}$ . Der Zweite Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von $196\frac{\text{km}}{\text{h}}$ , ist jedoch eine Stunde später losgefahren als der erste Zug. Um herauszufinden, wann der zweite Zug den ersten überholt, muss man zunächst ermitteln, wie weit der erste Zug in der Stunde, die er Vorsprung hatte, gefahren ist. Da der erste Zug mit einer Geschwindigkeit von $140\frac{\text{km}}{\text{h}}$ fährt, hat er offensichtlich bereits $140\text{km}$ zurückgelegt. Im nächsten Schritt schaut man, sich den Geschwindigkeitsunterschied der Züge an. Dieser liegt bei $196\frac{\text{km}}{\text{h}}-140\frac{\text{km}}{\text{h}}=56\frac{\text{km}}{\text{h}}$ . Der zweite Zug holt also $56\text{km}$ pro Stunde auf. Als letzten Schritt gilt es die Zeit zu bestimmen, die der zweite Zug benötigt um $140\text{km}$ auf zu holen. Dazu teilt man die Strecke von $140\text{km}$ durch die Entfernung die der zweite Zug pro Stunde aufholt, also die $56\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und erhält dadurch eine Dauer von $\frac{140}{56}=2,5$ Stunden. Nach 2 Stunden und 30 Minuten überholt der zweite Zug also den ersten. Anstatt diese schon recht komplizierte Rechnung im Kopf zu lösen, kann auch eine lineare Gleichung aufgestellt werden:

\begin{aligned} 140 \cdot (1+t) = 196 \cdot t \end{aligned}

Durch das Aufstellen der linearen Gleichung wird es einfacher das Problem zu lösen. Wie du diese oder andere lineare Gleichungen löst, erfährst du in unserem Artikel Gleichungen lösen.

Beispiel lineare Gleichungen - Einkaufen

Eine Eisdiele wirbt mit dem Angebot “3 Kugeln Eis für nur 4,50€”. Eine einzelne Kugel Eis kostet 1,40€. Um zu entscheiden, ob das Angebot lohnenswert ist, kann man den Preis pro Kugel aus dem Angebot ausrechnen. Dazu teilt man die 4,50€ durch die Anzahl der Eiskugeln und erhält somit einen Preis von $\frac{4,50}{3}=1,50$ € pro Kugel. Da $1,50 >1,40$ zahlt man also mehr Geld pro Eiskugel, wenn man das Angebot nutzt. Statt das Problem im Kopf zu lösen, kann man auch eine lineare Gleichung nutzen um den Preis einer einzelnen Kugel aus dem Angebot zu ermitteln:

\begin{aligned} 3 \cdot x = 4,5 \end{aligned}

Das Lösen dieser Gleichung führt natürlich ebenfalls zu dem Ergebnis, dass das Angebot nachteilig ist. Falls du wissen möchtest, wie du diese oder andere lineare Gleichungen löst, hilft dir unser Artikel Gleichungen lösen bestimmt weiter 😊.
Alternativ könnte man natürlich auch ausrechnen, wie viel 3 einzelne Eiskugeln kosten - nämlich

3 \cdot 1,40 = 4,20

€ - und würde ebenfalls zu dem Schluss kommen, dass das Angebot schlecht ist.

Beispiel lineare Gleichungen - Biologie

ernährt sich fast ausschließlich von Antarktischem Krill. Eine einzelne dieser Robben frisst jährlich etwa 5 Tonnen ( $5000\text{kg}$ ) Antarktischen Krill. Antarktischer Krill hat ein ungefähres Gewicht von etwa 2 Gramm pro Exemplar. Wie viele Exemplare des Antarktischen Krills nimmt eine Krabbenfresserrobbe also täglich zu sich? Um diese Frage zu beantworten, muss man zunächst den Jahresbedarf der Robbe an Antarktischem Krill, in einen Tagesbedarf umrechnen. Dazu teilt man den Jahresbedarf durch die Anzahl von Tagen im Jahr und erhält einen Tagesbedarf von etwa $\frac{5000}{365} \approx 13,7\text{kg}$ . Nun muss man noch berechnen, wie viele Exemplare des Antarktischen Krills, $13,7\text{kg}$ entsprechen. Dabei ist es wichtig auf die Einheiten auf zu passen. Man muss also zunächst die Gewichte in Gramm in Kilogrammgewichte umrechnen oder andersrum. Hauptsache alle Gewichte sind in der gleichen Einheit! Die $2\text{g}$ , die ein Antarktischer Krill wiegt, entsprechen $0,002\text{kg}$ . Teilt man nun den Tagesbedarf durch das Gewicht eines einzelnen Exemplars, erhält man die Anzahl von $\frac{13,7}{0,002}=6850$ Antarktischen Krills, die eine Krabbenfresserrobbe täglich konsumiert. Dieses Problem lässt sich auch durch folgende lineare Gleichung darstellen:

\begin{aligned} 0,002 \cdot x = \frac{5000}{365} \end{aligned}

Möchtest du wissen, wie eine solche lineare Gleichung gelöst wird, schau dir unseren Artikel zum lösen von linearen Gleichungen an.

Beispiel lineare Gleichungen - Sport

Ein Läufer möchte sich für einen Marathon, ein 42,195 km langes Rennen, anmelden. Momentan kann der Läufer 20 km am Stück laufen. Er geht davon aus, dass mit jeder Trainingswoche es schafft, einen 1,2 km weiter zu laufen. Damit der Läufer weiß, wann er in sich für einen Marathon anmelden kann, muss er die verbleibenden $42,195-20=22,195$ km durch die wöchentlich hinzukommende Distanz von $1,2$ km teilen. Der Läufer weiß dann, dass er sich frühesten in $\frac{22,195}{1,2}\approx 18,5$ Wochen für einen Marathon anmelden kann. Um dieses Problem schneller zu lösen, empfiehlt sich erneut das Aufstellen einer linearen Gleichung:

\begin{aligned} 1,2 \cdot x + 20 = 42,195 \end{aligned}

Durch das Lösen dieser Gleichung erhält man natürlich genau dasselbe Ergebnis 😃. Falls du lernen möchtest, wie man diese oder andere lineare Gleichungen löst, findest du hier eine umfassende Anleitung.

Beispiele für lineare Gleichungen

Für den Umgang mit linearen Gleichungen ist es notwendig lineare Gleichungen identifizieren zu können und sie von anderen Gleichungstypen zu unterscheiden. Die folgende Übersicht erläutert, worauf es bei linearen Gleichungen ankommt und wird dir helfen sicher lineare Gleichungen zu erkennen.

Gleichung	Ist die Gleichung linear?
$8\cdot x = 4$	Ja! Die Variable $x$ kommt nur in der ersten Potenz vor, es handelt sich deshalb um eine lineare Gleichung.
$0.\overline{7} \cdot x + 0,36 = 3$	Ja! Weil die Variable $x$ nur in der ersten Potenz vorkommt, handelt es sich um eine lineare Gleichung. Dass Summanden oder Faktoren in der Gleichung keine rationalen Zahlen sind oder in Dezimalschreibweise vorkommen, ändert nichts an der Linearität der Gleichung.
$a^3 \cdot z - b = c^7 \cdot d^2\ \text{mit} \ a,b,c,d \in \mathbb{Q}$	Ja! Die Variable, die jetzt $z$ und nicht wie so häufig $x$ heißt, kommt nur in der ersten Potenz vor. Wie die Variable genannt wird, spielt keine Rolle für die Art der Gleichung. Die Linearität der Gleichung wird auch nicht durch Summanden, Subtrahenden und Faktoren beeinflusst, die in höheren Potenzen vorkommen. Lediglich die Variable muss in der ersten Potenz vorkommen.
$3 - (x + 2)^2 =22$	Nein! Der Ausdruck $(x+2)^2$ lässt sich mit Hilfe der ersten binomischen Formel zu $(x+2)^2=x^2+4x+4$ umformen. Die Variable $x$ kommt also mit Potenz 2 vor und es handelt sich daher um eine quadratische Gleichung.
$0 \cdot x +1 =2$	Ja! Die Variable $x$ kommt nur in der ersten Potenz vor, daher ist die Gleichung linear. Allerdings hat diese lineare Gleichung keine Lösung, weil es keinen Wert für $x$ gibt, sodass linke und rechte Seite der Gleichung übereinstimmen.
$x+1=x+1$	Ja! Da die Variable $x$ nur in der ersten Potenz vorkommt, handelt es sich um eine lineare Gleichung. Die lineare Gleichung hat aber unendlich viele Lösungen. Linke und rechte Seite der Gleichung stimmen für jede beliebige Wahl von $x$ überein.
$4^x -1 = 0$	Nein! Die Variable $x$ kommt im Exponenten vor. Es handelt sich deshalb um eine Exponentialgleichung.
$3 \cdot x -2 \cdot y = 6$	Ja! Die Variablen $x$ und $y$ kommen jeweils nur in der ersten Potenz vor, weshalb es sich um eine lineare Gleichung handelt. Da zwei Variablen in der Gleichung vorkommen, wird diese Art der Gleichung als lineare Gleichung mit zwei Variablen bezeichnet.
$x \cdot y = 2$	Nein! Die Variablen $x$ und $y$ dürfen nicht im Produkt vorkommen.

Fragen und Antworten

Wo kommen lineare Gleichungen in der Realität vor?

Lineare Gleichungen können nahezu überall auftreten. Besonders in naturwissenschaftlichen Bereichen und in der Wirtschaft treten sie immer wieder auf.

Warum benutzt man lineare Gleichungen?

Lineare Gleichungen ermögliche es Zusammenhänge aus der realen Welt zu modellieren und dadurch auftretende Probleme relativ leicht zu lösen.

Was ist der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer linearen Gleichung?

Es gibt verschiedene Gleichungstypen. Lineare Gleichungen sind ein spezieller Gleichungstyp von vielen, sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Variablen nur in der ersten Potenz und nicht miteinander im Produkt vorkommen.

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Beispiel für lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen im Alltag