Lineare Gleichungen mit einer Variablen - was ist das und wozu brauche ich es?

Bist du nicht auf der Suche nach Erklärungen sondern nach Aufgaben zum Üben? Dann springe gleich zu unserem Aufgabengenerator und drucke dir kostenlos so viele Übungsblätter als PDF 📃 aus wie du rechnen kannst.

Der Begriff lineare Gleichung hört sich sehr kompliziert an, doch in Wahrheit sind lineare Gleichungen überhaupt kein schwieriges Thema und jeder von uns hat in seinem Leben schon unzählige lineare Gleichungen gelöst ohne es zu wissen. Auch in Zukunft wird jeder von uns noch viele lineare Gleichungen bewältigen müssen - daher bleibt dran!

Doch bevor wir im Detail untersuchen, was lineare Gleichungen überhaupt sind, lasst uns mit einem sehr einfachen Beispiel für eine lineare Gleichung starten, das jeder von uns kennt.

Lineare Gleichungen im Alltag | Ein Beispiel

Stell dir vor du gehst auf den Wochenmarkt oder in einen Einkaufsladen und willst Kartoffeln kaufen. Du siehst ein Schild auf dem steht, dass 2kg Kartoffeln 4€ kosten. Du brauchst allerdings nur 1kg Kartoffeln und möchtest daher wissen, wieviel Geld du für die Kartoffeln bezahlen musst. Diese Frage hört sich nicht schwierig an und lässt sich vielleicht bereits durch bloßes überlegen, also im Kopf, lösen, ist aber bereits eine lineare Gleichung die es zu lösen gilt. Auf diese oder ähnliche Weise begegnen uns lineare Gleichungen ständig ohne dass wir wirklich darüber nachdenken. Wenn du mehr über die Anwendungen von linearen Gleichungen in unserem Alltag wissen möchtest, findest du in unserem Artikel Beispiele für lineare Gleichungen interessante Beispiele. Nun lasst uns anschauen, wie lineare Gleichungen aussehen und wie man sie löst!

Struktur einer Linearen Gleichung

Die grundlegendste Form einer linearen Gleichungen sieht wie folgt aus:

$$\begin{aligned} a \cdot x = b \end{aligned}$$

Dabei sind $a$ und $b$ einfach nur Zahlen aus einer Zahlenmengen (wenn nichts anderes gesagt wird, gilt $a, b \in \mathbb{Q}$ oder später auch $\mathbb{R}$). Solltet ihr noch einmal nachlesen wollen, was Zahlenmengen eigentlich sind und welche Zahlenmengen es gibt, guckt euch gerne unseren Artikel zu Zahlenmengen an.

Das $x$ bezeichnet eine sogenannte Variable (oder die Unbekannte in der Gleichung), und kann Platzhalter für eine Größe verstanden werden, deren Wert wir noch nicht kennen. Wichtig ist, dass das $x$ in der ersten Potenz auftritt! Nur dann nennt man die Gleichung linear. Würde $x$ beispielsweise mit der Potenz 2 in der Gleichung vorkommen, wäre dies bereits eine “quadratische Gleichung”. In einer linearen Gleichung können auch mehrere Variablen auftreten. Damit die Gleichung dann linear ist, dürfen die Variablen nicht im Produkt miteinander auftreten.

Die folgende Tabelle bietet eine Übersicht der wichtigsten Gleichungstypen, die dir begegnen können:

Gleichungstyp	Formel
Lineare Gleichung	$a\cdot x = b$
Quadratische Gleichung	$a \cdot x^2 + b \cdot x=c$
Biquadratische Gleichung	$a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 +d \cdot x=e$
Polynomiale Gleichung n-ten Grades	$a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1}+ \cdots +a_1 \cdot x =b$
Exponentialgleichung	$a^x=b$
Logarithmische Gleichung	$log_a(x) = b$
Bruchgleichung	$\frac{1}{a+x}=b$

Identifikation von Linearen Gleichungen

Ist der Ausdruck $2 \cdot (x+7) +5 = 0$ eine lineare Gleichung? Diese oder ähnliche Aufgaben werden häufig genutzt, um das Verständnis von Schülern zum Thema lineare Gleichungen zu testen. Damit du lineare Gleichungen sicher erkennen kannst, untersuchen wir in der folgenden Übersicht einzelne Gleichungen auf Linearität.

Gleichung	Ist die Gleichung linear?
$2\cdot x = 5$	Ja! Die Variable $x$ kommt nur in der ersten Potenz vor, es handelt sich deshalb um eine lineare Gleichung.
$\pi \cdot x + 0,5 = 3$	Ja! Weil die Variable $x$ nur in der ersten Potenz vorkommt, handelt es sich um eine lineare Gleichung. Dass Summanden oder Faktoren in der Gleichung keine rationalen Zahlen sind oder in Dezimalschreibweise vorkommen, ändert nichts an der Linearität der Gleichung.
$a^4 \cdot z - b = c^2 \cdot d\ \text{mit} \ a,b,c,d \in \mathbb{Q}$	Ja! Die Variable, die jetzt $z$ und nicht wie so häufig $x$ heißt, kommt nur in der ersten Potenz vor. Wie die Variable genannt wird, spielt keine Rolle für die Art der Gleichung. Die Linearität der Gleichung wird auch nicht durch Summanden, Subtrahenden und Faktoren beeinflusst, die in höheren Potenzen vorkommen. Lediglich die Variable muss in der ersten Potenz vorkommen.
$5 - (x + 1)^2 =0$	Nein! Der Ausdruck $(x+1)^2$ lässt sich mit Hilfe der ersten binomischen Formel zu $(x+1)^2=x^2+2x+1$ umformen. Die Variable x kommt also mit Potenz 2 vor und es handelt sich daher um eine quadratische Gleichung.
$0 \cdot x +3 =5$	Ja! Die Variable $x$ kommt nur in der ersten Potenz vor, daher ist die Gleichung linear. Allerdings hat diese lineare Gleichung keine Lösung, weil es keinen Wert für x gibt, sodass linke und rechte Seite der Gleichung übereinstimmen.
$x=x$	Ja! Da die Variable $x$ nur in der ersten Potenz vorkommt, handelt es sich um eine lineare Gleichung. Die lineare Gleichung hat aber unendlich viele Lösungen. Linke und rechte Seite der Gleichung stimmen für jede beliebige Wahl von $x$ überein.
$2^x -4 = 6$	Nein! Die Variable $x$ kommt im Exponenten vor. Es handelt sich deshalb um eine Exponentialgleichung.
$2 \cdot x -3 \cdot y = 5$	Ja! Die Variablen $x$ und $y$ kommen jeweils nur in der ersten Potenz vor, weshalb es sich um eine lineare Gleichung handelt. Da zwei Variablen in der Gleichung vorkommen, wird diese Art der Gleichung als lineare Gleichung mit zwei Variablen bezeichnet.
$x \cdot y = 1$	Nein! Die Variablen $x$ und $y$ dürfen nicht im Produkt vorkommen.

Lineare Gleichungen aufstellen - Textaufgaben

Nun aber zurück zu den linearen Gleichungen. Lasst uns jetzt für das Beispiel von linearen Gleichungen im Alltag von oben eine lineare Gleichung aufstellen. Der Preis für 1kg Kartoffeln stellt dabei unsere Unbekannte, also die Variable $x$ dar. Sie ist das konkrete Objekt um das es geht. Die 2kg aus dem Beispiel entspricht der Zahl a und der Preis von 4€ entspricht der Zahl b.

Um lineare Gleichungen zu vereinfachen, werden Einheiten wie Kilo oder Euro in der Regel nicht mit in die lineare Gleichung aufgenommen. Trotzdem ist es bei der Interpretation der linearen Gleichungen wichtig diese Einheiten im Hinterkopf zu behalten. Durch einfaches einsetzen, erhalten wir:

$$\begin{aligned} 2 \cdot x = 4 \end{aligned}$$

Nun haben wir die Beziehung aus dem Text erfolgreich in eine lineare Gleichung überführt. Eine ausführliche Anleitung zum Lösen von Textaufgaben findest du in diesem Artikel. Wie du ganz allgemein lineare Gleichungen rechnerisch lösen kannst, erfährst du in hier.

Lineare Gleichungen erkennen - Aufgaben mit Lösungen

Wenn du üben möchtest lineare Gleichungen zu erkennen und von anderen Gleichungstypen zu unterscheiden, findest du hier passende Aufgaben zu unterschiedlichen Schwierigkeitstypen.

file_downloadshare

file_downloadshare

file_downloadshare

Aufgaben-Tool

Erstelle dir kostenlos Übungsblätter zu: lineare Gleichungen erkennen

Blätter erstellen

Fragen und Antworten

Wozu benötigt man lineare Gleichungen?

Einfach gesagt, benutzt man lineare Gleichungen um Probleme aus unterschiedlichsten Bereichen zu modellieren und zu lösen. Typische Anwendungsbereiche in denen lineare Gleichungen immer wieder vorkommen, sind Naturwissenschaften und Wirtschaft. Grundsätzlich können lineare Gleichungen aber überall vorkommen. Wenn du dich für Beispiele von linearen Gleichungen im Alltag interessierst, wirst du hier bestimmt fündig.

Was versteht man unter einer linearen Gleichung?

Unter einer lineare Gleichung versteht man eine Gleichung in der alle Unbekannten in der ersten Potenz vorkommen und keine Unbekannten miteinander im Produkt auftreten.

Was ist der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer linearen Gleichung?

Es gibt verschiedene Gleichungstypen. Lineare Gleichungen sind ein spezieller Gleichungstyp von vielen, sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Variablen nur in der ersten Potenz vorkommen.

Das könnte dich auch interessieren

Stefan Vickers

Schriftlich Multiplizieren einfach erklärt

Verstehe wie die schriftliche Multiplikation funktioniert und stelle dir individuelle Übungsblätter samt Lösungen zum Thema zusammen.

30.11.2023·Grundrechenarten erklärt

bookmark_border

more_horiz

Florian Thüroff

Binomische Formeln lösen – Tricks und Techniken zu grundlegenden Aufgaben

Binomische Formeln lösen: Sicher und effektiv. Lerne an 9 Beispielen alle Tricks und Techniken um typische Aufgaben zu binomischen Formeln zu meistern.

09.05.2023·Binomische Formeln

bookmark_border

more_horiz

Florian Thüroff

Binomische Formeln und deren Anwendung verstehen

Wir erklären dir was die binomischen Formeln sind, wo sie herkommen und wozu man die binomischen Formeln braucht

09.05.2023·Binomische Formeln

bookmark_border

more_horiz

Stefan Vickers

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) - leicht erklärt

Lass dir erklären wie du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen findest und übe Aufgaben dazu mit Hilfe unseres Aufgabengenerators.

09.05.2023· GGT

bookmark_border

more_horiz

Stefan Vickers

Primfaktorzerlegung - einfach erklärt

Du möchtest wissen wie die Primfaktorzerlegung funktioniert? Wir erklären dir Schritt für Schritt wie du das Thema in der Schule meistern kannst und in welcher Technologie die Methode heute noch verwendet wird.

09.05.2023·Primfaktorzerlegung

bookmark_border

more_horiz

Florian Thüroff

Schneller Kopfrechnen: Vielfache von 5 in Rekordzeit quadrieren

Verbessere deine Kopfrechenleistung und lerne Zahlen in Rekordzeit zu quadrieren. Der Trick funktioniert für zweistellige Vielfache der Zahl 5.

09.05.2023·Kopfrechnen

bookmark_border

more_horiz

Florian Thüroff

Schriftliches Dividieren einfach erklärt

Wir erklären dir die schriftliche Division mit und ohne Rest und geben dir Tipps und Tricks wie du die schriftliche Division meistern kannst

09.05.2023·Grundrechenarten erklärt

bookmark_border

more_horiz

Mehr zu natürlichen Zahlen

Du suchst detailierte Informationen, wie zum Beispiel alle Teiler oder die Vielfachenmenge, zu einer bestimmten natürlichen Zahl? Dann wirst du hier fündig.

1-20

21-40

41-60

61-80

81-100

101-120

121-140

141-160

161-180

181-200