Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen - was ist das und wozu brauche ich es?

Linus Haertel·09.05.2023

Lineare Gleichungen können mehr als nur eine Variable enthalten. Doch wie sieht eine lineare Gleichung mit mehreren Variablen aus und wofür brauche ich solche Gleichungen überhaupt? Diese Fragen werden wir in diesem Artikel klären und soviel sei schon einmal vorweg gesagt: Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen sind extrem wichtig und werden dir sehr wahrscheinlich noch häufiger begegnen!

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Doch bevor wir im Detail untersuchen, was lineare Gleichungen überhaupt sind, lasst uns mit einem sehr einfachen Beispiel aus dem Alltag für eine lineare Gleichung mit zwei Variablen starten.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen im Alltag | Ein Beispiel

Stell dir vor du möchtest in den Urlaub fliegen. Im Urlaub möchtest du sowohl einige Tage wandern, als auch einige Tage am Strand verbringen. Du möchtest am liebsten super viele Sachen einpacken, aber du musst aufpassen, dass das Maximalgewicht des Koffers von 30kg nicht überschritten wird. Du teilst die Sachen die du mitnehmen möchtest in zwei Gruppen ein: Wandersachen und Strandsachen. Du möchtest nun wissen, wieviel Wandersachen du mitnehmen kannst. Dies hängt offensichtlich davon ab, wie viele Strandsachen du mitnimmst, da du ja insgesamt nur auf 30kg kommen darfst. Dieses Problem ist nicht besonders komplex, ist aber bereits eine lineare Gleichung mit zwei Variablen.

Auf diese oder ähnlich Weise begegnen uns lineare Gleichungen mit mehreren Variablen häufig im Alltag und wir lösen sie meist ohne zu wissen, dass es sich um eine solche Gleichung handelt. Nun lasst uns anschauen, wie lineare Gleichungen mit mehreren Variablen aussehen und wie man sie löst!

Struktur einer Linearen Gleichung mit mehreren Variablen

Die grundlegendste Form einer linearen Gleichungen zwei Variablen sieht wie folgt aus:

\begin{aligned} a \cdot x + b \cdot y = c \end{aligned}

Dabei sind

a, b \ \textrm{und} \ c

einfach nur Zahlen aus einer Zahlenmengen (wenn nichts anderes gesagt wird, gilt

a, b \in \mathbb{Q}\ \textrm{oder später auch}\ \mathbb{R}

). Solltet ihr noch einmal nachlesen wollen, was Zahlenmengen eigentlich sind und welche Zahlenmengen es gibt, guckt euch gerne unseren Artikel zu Zahlenmengen an.

Das $x$ und das $y$ bezeichnen unsere Variable (also die Unbekannten in der Gleichung), und können als Platzhalter für bestimmte Größen verstanden werden, deren Wert wir noch nicht kennen. Wichtig ist, dass das $x$ und $y$ in der ersten Potenz auftreten und nicht im Produkt! Nur dann nennt man die Gleichung linear. Würde in der Gleichung beispielsweise $x \cdot y$ vorkommen, wäre diese Gleichung nicht mehr linear. Es können natürlich auch noch mehr als zwei Variablen in der linearen Gleichung vorkommen. Wichtig ist, dass die Charakteristika einer linearen Gleichung nicht verletzt werden. Das bedeutet, dass auch jede weitere Variable in der ersten Potenz vorkommt und mit keiner anderen Variablen im Produkt auftritt.

Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen aufstellen - Textaufgaben

Damit wir sehen, wie lineare Gleichungen mit mehreren Variablen konkret aussehen, lasst uns jetzt für das Alltagsbeispiel von oben eine lineare Gleichung aufstellen. Dieses Beispiel ist bewusst sehr einfach gewählt. Wir haben in diesem Beispiel zwei Variablen: Die Wandersachen und die Strandsachen. Wir bezeichnen nun im folgenden mit $x$ die Wandersachen und mit $y$ die Strandsachen. Beide diese Variablen haben Vorfaktor “1”. Für unsere Darstellung einer linearen Gleichung mit zwei Variablen von oben gilt deshalb $a=b=1$ . Das Gesamtgewicht entspricht dem $c$ . Es gilt also $c=30$ . Wie auch bei linearen Gleichungen mit einer Variablen werden Einheiten bei der Darstellung der linearen Gleichung weggelassen. Trotzdem muss man sie bei der Interpretation der Lösung natürlich berücksichtigen.
Wir können nun einfach einsetzen und erhalten unsere lineare Gleichung mit zwei Variablen:

\begin{aligned} x + y = 30 \end{aligned}

Diese Gleichung können wir nun nach $x$ oder $y$ umstellen. Wie du grundsätzlich lineare Gleichungen mit mehreren Variablen löst, kannst du hier nachschauen.

Lineare Gleichungen erkennen - Aufgaben mit Lösungen

Wenn du üben möchtest lineare Gleichungen zu erkennen und von anderen Gleichungstypen zu unterscheiden, findest du hier passende Aufgaben zu unterschiedlichen Schwierigkeitstypen.

PDF zu einfachen Aufgaben und Lösungen zu: lineare Gleichungen erkennen

PDF zu mittelschweren Aufgaben und Lösungen zu: lineare Gleichungen erkennen

PDF zu schweren Aufgaben und Lösungen zu: lineare Gleichungen erkennen

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Fragen und Antworten

Was ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen?

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gleichung in der zwei Variablen vorkommen, die beide jeweils in der ersten Potenz auftreten und nicht im Produkt miteinander stehen. Ein Beispiel für eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist z.B.:

2x+y=1

Wie löse ich eine lineare Gleichung mit zwei Variablen?

Du löst eine lineare Gleichung mit zwei Variablen fast genau so, wie du eine lineare Gleichung mit einer Variablen löst. Du musst zuerst wissen nach welcher der beiden Variablen du die Gleichung auflösen willst. Danach behandelst du die andere Variable einfach wie eine Konstante und stellst die lineare Gleichung mit den bekannten Umformungsschritten um bis deine Variable isoliert ist.

Woher weiß ich nach welcher Variablen ich eine lineare Gleichung mit zwei Variablen auflösen muss?

Dies ist entweder in der Aufgabenstellung explizit gegeben oder du kannst es dir aus der Aufgabenstellung (beispielsweise bei einer Textaufgabe) erschließen. Solltest du jedoch keine Ahnung haben ist das auch nicht schlimm. Du kannst einfach irgendeine der beiden Variablen nehmen. Am Ende kannst du aus der Lösung für die eine Variable eh relativ schnell die Lösung für die andere bekommen in dem du die Lösungsgleichung einfach umstellst.

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