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Lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen, in denen Klammern vorkommen

Linus Haertel·18.10.2022

Normale lineare Gleichungen zu lösen, ist ja schon kompliziert genug, aber jetzt auch noch mit Klammern?? 🥵 Keine Panik, denn es ist gar nicht so schwierig, wie man vielleicht denkt. In diesem Artikel geben wir dir zwei einfache Anleitung, wie du jede lineare Gleichung mit Klammern Schritt für Schritt lösen kannst.

Wenn du noch gar nicht so richtig weißt, was eine lineare Gleichung überhaupt ist, findest du hier eine super Einführung in die Welt der linearen Gleichungen.

Bist du nicht auf der Suche nach Erklärungen sondern nach Aufgaben zum Üben? Dann springe gleich zu unserem Aufgabengenerator und drucke dir kostenlos so viele Übungsblätter als PDF 📃 aus wie du rechnen kannst.

Voraussetzungen zum Lösen von linearen Gleichungen mit Klammern - Das solltest du können

Um lineare Gleichungen mit einer Variablen sicher lösen zu können, brauchst du nicht viel Vorwissen. Solltest du mit einem der Themen jedoch noch Schwierigkeiten haben, findest du auf unserer Seite nützliche Informationen dazu und du kannst dir über unseren Aufgabengenerator natürlich kostenlos so viele Übungsaufgaben ausdrucken wie du rechnen kannst.

Dividieren und Multiplizieren im Kopf

Grundschule (3. und 4. Klasse)
  • Um lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen zu können, solltest du sicher beim Dividieren und Multiplizieren im Kopf sein

Bruchrechnung

Weiterführende Schulen (5. Klasse)
  • Du solltest keine Angst vor Bruchrechnung haben, denn Brüche können immer wieder in linearen Gleichungen auftauchen

Lineare Gleichungen lösen

Weiterführende Schulen (7. Klasse)
  • Bevor du lineare Gleichungen mit Klammern löst, solltest du wissen, wie man einfache lineare Gleichungen löst. Wenn du dir noch nicht ganz sicher bist, wie man einfache lineare Gleichungen löst, findest du hier eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen

Im folgenden wollen wir dir zwei Verfahren zeigen um lineare Gleichungen mit Klammern zu lösen. Das erste Verfahren ist bietet sich nicht unbedingt bei jeder linearen Gleichung mit Klammern an. Besonders bei komplizierten Ausdrücken empfiehlt es sich daher das zweite Verfahren zu nutzen. Bei einfachen linearen Gleichungen mit Klammern ist das erste Verfahren jedoch ziemlich schnell und elegant und erspart dir Rechenarbeit. Das zweite Verfahren ist immer einsetzbar, egal wie die Gleichung aussieht.

Das Kochrezept: Einfache lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen, in denen Klammern vorkommen 🚀

In diesem Verfahren werden wir dir zeigen, wie du einfach lineare Gleichungen mit Klammern lösen kannst. Einfach bedeutet dabei, dass nicht mehrere Klammern mit unterschiedlichen Vorfaktoren auftreten.

Um dir zu zeigen, wie man solche einfach lineare Gleichungen mit Klammern löst, gucken wir uns folgende Gleichung als Beispiel an:

2(x5)10=20 \begin{aligned} 2 \cdot (x-5) -10 = 20 \end{aligned}

Wenn wir dieses Gleichung lösen wollen, müssen wir es schaffen, die Variable xx zu isolieren. Die Variable xx steht nun aber innerhalb einer Klammer, was das ganze etwas schwieriger macht. Theoretisch kannst du die Klammer ausmultiplizieren und dann eine “normale” lineare Gleichung lösen. Dies werden wir uns in dem nächsten Abschnitt angucken. Hier wollen wir dir eine etwas schnellere Möglichkeit zum Lösen der Gleichung präsentieren, die sich bei leichteren Gleichungen mit Klammern anbietet.😉

Schritt 1: Alle Summanden und Subtrahenden außerhalb der Klammer auf die Seite des Gleichheitszeichens bringen, wo x NICHT steht 👈

In unserem Beispiel muss nur die “-10” auf die andere Seite gebracht werden. Die “+20” steht bereits auf der richtigen Seite, nämlich dort, wo xx nicht vorkommt.

Die “-10” bringen wir auf die rechte Seite des Gleichheitszeichen in dem wir eine Äquivalenzumformung durchführen. Wir addieren nämlich “+10” auf beiden Seiten der Gleichung:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 1: Alle Summanden und Subtrahenden außerhalb der Klammer auf die Seite des Gleichheitszeichens bringen, wo x NICHT steht

Wir erhalten somit:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 1: Alle Summanden und Subtrahenden außerhalb der Klammer auf die Seite des Gleichheitszeichens bringen, wo x NICHT steht

Schritt 2: Durch Vorfaktor der Klammer teilen 👈

Nun wollen wir die Klammer wegbekommen. Wie schon eingangs erwähnt, könntest du dies auch erreichen in dem du die Klammer aus multiplizierst. Etwas schneller und eleganter ist es jedoch einfach durch den Vorfaktor der Klammer zu teilen.

In unserem Beispiel ist der Vorfaktor die “2”. Mit ihr wird die Klammer multipliziert. Um diesen Faktor los zu werden, teilen wir nun beiden Seiten der Gleichung durch “2”.

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 2: Durch Vorfaktor der Klammer teilen

Einfaches ausrechnen ergibt dann:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 2: Durch Vorfaktor der Klammer teilen

Schritt 3: Alle Summanden und Subtrahenden auf die Seite des Gleichheitszeichens bringen, wo x NICHT steht 👈

Dadurch dass die Klammer im letzten Schritt weggefallen ist, ist es nun möglich die verbleibenden Summanden auf die Seite der Gleichung zu bringen, wo xx nicht steht. So wird xx weiter isoliert.

In unserem Beispiel muss nur die “-5” auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden. Dies können wir durch die Addition von “+5” auf beiden Seiten der Gleichung erreichen:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 3: Alle Summanden und Subtrahenden auf die Seite des Gleichheitszeichens bringen, wo x NICHT steht

Wenn man dies ausrechnet erhält man:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 3: Alle Summanden und Subtrahenden auf die Seite des Gleichheitszeichens bringen, wo x NICHT steht

Schritt 4: Durch Vorfaktor von x teilen 👈

Wir haben wieder einmal Glück gehabt und haben bereits die Lösung der Gleichung vor uns stehen, weil xx den Vorfaktor “1” hat. Wäre der Vorfaktor ein anderer müssten wir beide Seiten der Gleichung noch durch diesen Faktor teilen.

Schritt 5: Probe durchführen 👈

Um sicher zu gehen, dass unsere Lösung auch wirklich stimmt, führen wir im letzten Schritt noch eine Probe durch. Dazu setzen wir unsere Lösung x=20x=20 einfach in die ursprüngliche Gleichung 2(x5)10=202 \cdot (x-5) -10 = 20 ein:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 4: Probe durchführen

Ausrechnen ergibt 20=2020=20, was offensichtlich eine wahre Aussage ist. Unsere Lösung ist also korrekt! 👍

Dieses Beispiel war ziemlich einfach. Im folgenden wollen wir dir ein weiteres Verfahren zeigen mit dem du jede lineare Gleichung Schritt für Schritt lösen kannst. Solltest du direkt mit dem Üben anfangen wollen, kannst du auch sofort zu unserem Aufgabengenerator springen und so viele lineare Gleichungen mit Klammern rechnen, wie du möchtest.

Das Kochrezept: Allgemeine lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen, in denen Klammern vorkommen 🚀

Dieses Verfahren ist nicht ganz so elegant, wie das Verfahren zuvor. Der Vorteil ist jedoch, dass man nicht nachdenken muss, ob das Verfahren jetzt sinnvoll ist und funktioniert, denn es funktioniert immer\textbf{immer}! 💪 Bei diesem Verfahren multiplizieren wir alle\textbf{alle} Klammern in der linearen Gleichung aus und Lösen dann eine lineare Gleichung ohne jegliche Klammern.
Um das Verfahren zu verstehen, gucken wir uns eine etwas komplizierte Gleichung als zuvor an:

5(2x4)3x+2=2(x+1)5 \begin{aligned} 5(2x-4)-3x +2=2(x+1)-5 \end{aligned}

Bei dieser linearen Gleichung stehen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens Klammern, die unsere Variable xx enthalten. Das Verfahren von oben wäre hier nicht besonders hilfreich. Es macht in diesem Fall mehr Sinn wie folgt vorzugehen:

Schritt 1: Klammern ausmultiplizieren 👈

Dieser Schritt ist mühselig und kann bei komplizierten Ausdrücken auch recht lange dauern. Je mehr Übung man jedoch hat, desto schneller klappt das Ausmultiplizieren 😀

In unserem Beispiel müssen wir “nur” zwei Klammern ausmultiplizieren. Wir erhalten:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 1: Ausmultiplizieren

Schritt 2: Vereinfachen 👈

Jetzt können wir die Terme auf beiden Seiten der Gleichung vereinfachen:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 2: Vereinfachen

Schritt 3: Gleichung lösen 👈

Wir haben nun eine lineare Gleichung ohne\underline{\textrm{ohne}} lineare Klammern vorliegen. Natürlich muss die Variable xx nicht grundsätzlich auf beiden Seiten der Gleichung vorkommen. Es liegt nach den ersten beiden Schritten aber immer eine lineare Gleichung ohne\textbf{ohne} Klammern vor. Diese sind in der Regel recht leicht zu lösen. 😉

Wir orientieren beim Lösen der Gleichung in unserem Beispiel an dem Schema zum Lösen von linearen Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten. Wir bringen also zunächst alle Terme die xx enthalten auf eine Seite der Gleichung:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 3: Gleichung lösen

Wir erhalten:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 3: Gleichung lösen

Im nächsten Schritt bringen wir alle Summanden und Subtrahenden auf die Seite der Gleichung, wo unsere Variable x nichtx\ \textbf{nicht} steht:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 3: Gleichung lösen

Damit haben wir:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 3: Gleichung lösen

Als letztes teilen wir durch den Vorfaktor von xx:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 3: Gleichung lösen

Nun haben wir die lineare Gleichung gelöst, die Lösung lautet:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 3: Gleichung lösen

Schritt 4: Probe durchführen 👈

Im letzten Schritt führen wir wie immer eine Probe durch um zu überprüfen, ob unsere Lösung korrekt ist. Dafür setzen wir x=3x=3 in die ursprüngliche Gleichung ein:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 4: Probe

Wenn wir dies ausrechnen erhalten wir:

Lineare Gleichungen mit Klammern lösen Schritt 4: Probe

Beide Seiten der Gleichung haben den Wert “3”. Unsere Lösung ist also korrekt.

Lineare Gleichungen mit Klammern - Aufgaben mit Lösungen

Falls du gerne das Lösen von linearen Gleichungen mit Klammern üben möchtest, findest du hier passende Aufgaben zu unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden.

Hier steht ein erklärender Text zum Bild

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