Lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen, in denen Klammern vorkommen

Schritt 1: Alle Summanden und Subtrahenden außerhalb der Klammer auf die Seite des Gleichheitszeichens bringen, wo x NICHT steht 👈

In unserem Beispiel muss nur die “-10” auf die andere Seite gebracht werden. Die “+20” steht bereits auf der richtigen Seite, nämlich dort, wo $x$ nicht vorkommt.

Die “-10” bringen wir auf die rechte Seite des Gleichheitszeichen in dem wir eine Äquivalenzumformung durchführen. Wir addieren nämlich “+10” auf beiden Seiten der Gleichung:

Wir erhalten somit:

Schritt 2: Durch Vorfaktor der Klammer teilen 👈

Nun wollen wir die Klammer wegbekommen. Wie schon eingangs erwähnt, könntest du dies auch erreichen in dem du die Klammer aus multiplizierst. Etwas schneller und eleganter ist es jedoch einfach durch den Vorfaktor der Klammer zu teilen.

In unserem Beispiel ist der Vorfaktor die “2”. Mit ihr wird die Klammer multipliziert. Um diesen Faktor los zu werden, teilen wir nun beiden Seiten der Gleichung durch “2”.

Einfaches ausrechnen ergibt dann:

Schritt 3: Alle Summanden und Subtrahenden auf die Seite des Gleichheitszeichens bringen, wo x NICHT steht 👈

Dadurch dass die Klammer im letzten Schritt weggefallen ist, ist es nun möglich die verbleibenden Summanden auf die Seite der Gleichung zu bringen, wo $x$ nicht steht. So wird $x$ weiter isoliert.

In unserem Beispiel muss nur die “-5” auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden. Dies können wir durch die Addition von “+5” auf beiden Seiten der Gleichung erreichen:

Wenn man dies ausrechnet erhält man:

Schritt 4: Durch Vorfaktor von x teilen 👈

Wir haben wieder einmal Glück gehabt und haben bereits die Lösung der Gleichung vor uns stehen, weil $x$ den Vorfaktor “1” hat. Wäre der Vorfaktor ein anderer müssten wir beide Seiten der Gleichung noch durch diesen Faktor teilen.

Schritt 5: Probe durchführen 👈

Um sicher zu gehen, dass unsere Lösung auch wirklich stimmt, führen wir im letzten Schritt noch eine Probe durch. Dazu setzen wir unsere Lösung $x=20$ einfach in die ursprüngliche Gleichung $2 \cdot (x-5) -10 = 20$ ein:

Ausrechnen ergibt $20=20$, was offensichtlich eine wahre Aussage ist. Unsere Lösung ist also korrekt! 👍

Schritt 1: Klammern ausmultiplizieren 👈

Dieser Schritt ist mühselig und kann bei komplizierten Ausdrücken auch recht lange dauern. Je mehr Übung man jedoch hat, desto schneller klappt das Ausmultiplizieren 😀

In unserem Beispiel müssen wir “nur” zwei Klammern ausmultiplizieren. Wir erhalten:

Schritt 2: Vereinfachen 👈

Jetzt können wir die Terme auf beiden Seiten der Gleichung vereinfachen:

Schritt 3: Gleichung lösen 👈

Wir haben nun eine lineare Gleichung $\underline{\textrm{ohne}}$ lineare Klammern vorliegen. Natürlich muss die Variable $x$ nicht grundsätzlich auf beiden Seiten der Gleichung vorkommen. Es liegt nach den ersten beiden Schritten aber immer eine lineare Gleichung $\textbf{ohne}$ Klammern vor. Diese sind in der Regel recht leicht zu lösen. 😉

Wir orientieren beim Lösen der Gleichung in unserem Beispiel an dem Schema zum Lösen von linearen Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten. Wir bringen also zunächst alle Terme die $x$ enthalten auf eine Seite der Gleichung:

Wir erhalten:

Im nächsten Schritt bringen wir alle Summanden und Subtrahenden auf die Seite der Gleichung, wo unsere Variable $x\ \textbf{nicht}$ steht:

Damit haben wir:

Als letztes teilen wir durch den Vorfaktor von $x$:

Nun haben wir die lineare Gleichung gelöst, die Lösung lautet:

Schritt 4: Probe durchführen 👈

Im letzten Schritt führen wir wie immer eine Probe durch um zu überprüfen, ob unsere Lösung korrekt ist. Dafür setzen wir $x=3$ in die ursprüngliche Gleichung ein:

Wenn wir dies ausrechnen erhalten wir:

Beide Seiten der Gleichung haben den Wert “3”. Unsere Lösung ist also korrekt.