Lineare Gleichungen ohne Lösung

Linus Haertel·09.05.2023

Du sollst die Lösung einer linearen Gleichung bestimmen, doch findest einfach keinen Wert der passt? Du fängst nochmal von vorne an und findest wieder kein Ergebnis? Vielleicht hat diese lineare Gleichung einfach keine Lösung! Nicht immer wenn eine lineare Gleichung nicht aufgeht, hat man einen Fehler gemacht. Manche lineare Gleichungen sind auch so konstruiert, dass es keine Lösung gibt. In diesem Artikel zeigen wir dir ausführlich, wie du solche linearen Gleichungen erkennst und sagen dir was eine lineare Gleichung ohne Lösung bedeutet.

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Lineare Gleichungen - Beispiele

Um lineare Gleichungen $\textbf{ohne}$ Lösung zu verstehen, lass uns zunächst eine lineare Gleichung $\textbf{mit}$ Lösung betrachten. So können wir die Unterschiede besser verstehen! 😀

Lineare Gleichung mit Lösung - Beispiel

Vor uns liegt folgende lineare Gleichung, die wir nach $x$ auflösen wollen:

\begin{aligned} 2x =x +1 \end{aligned}

Wenn wir uns die Gleichung als Waage vorstellen, erhalten wir folgendes Bild:

Diese linearen Gleichungen können wir nach dem Schema zum Lösen von linearen Gleichungen, in denen die Variable mehrfach vorkommt nach $x$ auflösen. Da das Beispiel sehr einfach ist, müssen wir lediglich eine Äquivalenzumformung durchführen. Wir subtrahieren auf beiden Seiten der Gleichung ein $x$ und erhalten:

\begin{aligned} x =1 \end{aligned}

Im Bild mit der Waage haben wir also von der linken, als auch von der rechten Waagschale, jeweils ein

x

entfernt. Wir erhalten dann natürlich das gleiche Ergebnis,

x

ist genauso schwer wie “1”. Also muss

x

auch “1” sein:

Bei einer linearen Gleichung $\textbf{mit}$ Lösung ist die Waage für den richtigen Wert der Variable also stets im Gleichgewicht, da beide Seiten der linearen Gleichung den gleichen Wert haben. Durch Äquivalenzumformungen ist es möglich die Variable zu isolieren und so die Lösungsmenge zu bestimmen.

Lineare Gleichung ohne Lösung - Beispiel

Nun gucken wir uns ein anderes Beispiel an, dazu ändern wir die Gleichung von oben nur leicht ab. Statt $2x=x+1$ betrachten wir jetzt:

\begin{aligned} x =x+1 \end{aligned}

Wenn wir uns dieses Beispiel mit Hilfe der Darstellung von der Waage veranschaulichen, wird uns klar, dass die Gleichung nicht aufgehen kann.

In beiden Waagschalen liegt genau ein $x$ , nur in der rechten Waagschale liegt zusätzlich noch ein Gewicht mit der “1”. Dies kann unmöglich gleichschwer sein! Noch deutlicher wird es, wenn wir von beiden Waagschalen ein $x$ entfernen. Diese Umformung ändert das Verhältnis der beiden Waagschalen nicht. Dann erhalten wir:

Damit diese Gleichung aufgeht, müsste also “0” genauso schwer wie “1” sein. Dazu müsste $0=1$ gelten. Offensichtlich ist dies aber nicht der Fall. Unsere anfängliche Gleichung $x = x+1$ ist also gleichbedeutend mit der Gleichung $0=1$ und hat daher keine Lösung! Damit du weißt, wann du eine lineare Gleichung ohne Lösung vor dir hast, solltest du dir folgendes merken:

Wird eine lineare Gleichung durch Äquivalenzumformungen zu einem Widerspruch geführt, hat die lineare Gleichung keine Lösung.

Was mache ich, wenn die lineare Gleichung keine Lösung hat?

Wenn du nun eine lineare Gleichung nach $x$ auflösen willst und zu dem Schluss gekommen bist, dass diese Gleichung keine Lösung haben kann, ist es wichtig das auch zu notieren. Manchmal siehst du einer Gleichung sogar direkt an, dass sie keine Lösung haben kann. Trotzdem ist es wichtig deine Überlegungen auf zu schreiben. Bei unserem Beispiel von oben könnte das dann beispielsweise so aussehen:

Lineare Gleichungen ohne Lösung: Notation

Fragen und Antworten

Ist es möglich, dass eine lineare Gleichung genau eine Lösung hat?

Ja! Dies ist der Normalfall. Ein Beispiel für eine lineare Gleichung mit genau einer Lösung ist:

2x = 4

. Mit Lösung

x=2

Ist es möglich, dass eine lineare Gleichung keine Lösung hat?

Ja! In besonderen Fällen kann es vorkommen, dass eine lineare Gleichung unlösbar ist - egal was man für

x

einsetzt. Dies ist immer dann der Fall, wenn die lineare Gleichung durch Äquivalenzumformungen zu einem Widerspruch geführt werden kann. Ein Beispiel für eine lineare Gleichung ohne Lösung ist:

x = x+2

Ist es möglich, dass eine lineare Gleichung unendlich Lösungen hat?

Ja! Wenn die lineare Gleichung durch Äquivalenzumformungen zu einer allgemeingültigen Aussage geführt werden kann, hat die lineare Gleichung unendlich viele Lösungen. Ein Beispiel für eine lineare Gleichung mit unendlich vielen Lösungen ist:

x=x

Ist es möglich, dass eine lineare Gleichung genau

n \in \mathbb{N}

Lösungen hat?

Prinzipiell schon, aber das ist dann ein besonderer Extremfall! Damit eine lineare Gleichung genau

n

Antwortmöglichkeiten hat, muss die Menge an möglichen Werten für

x

stark eingeschränkt werden. Man betrachtet, dann eine allgemeingültige Gleichung wie

x = x

. Begrenzt die Anzahl der möglichen Werte für

x

aber auf

n

. Zum Beispiel durch die zusätzliche Information, dass

x \in \mathbb{N}_{<n+1}

gilt. Die Variable

x

muss also ein Element aus den natürlichen Zahlen sein und kleiner als

n+1

. Es bleiben, daher nur die Werte

1,2,\dots, n

übrig. Ohne solche Einschränkungen ist es

\textbf{nicht}

möglich, dass eine lineare Gleichung genau

n

Lösungen hat.

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