Lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen, in denen die Variable mehrfach vorkommt

Schritt 1: Alle x auf eine Seite der Gleichung bringen 👈

Im ersten Schritt versuchen wir alle Terme, die die Variable $x$ enthalten auf eine Seite der Gleichung zu bringen. Unser Ziel ist es nur noch einen Ausdruck zu haben der $x$ enthält. Wenn wir dies geschafft haben, bleibt eine ganz normale lineare Gleichung übrig. Diese können wir dann nach dem bekannten Muster lösen.

Die Variable $x$ taucht auf der linken Seite der Gleichung in einem etwas komplizierterem Ausdruck auf, es bietet sich daher an die Klammer zunächst auszurechnen. Wir erhalten:

Nun können wir alle Terme in denen ein $x$ vorkommt auf eine Seite der Gleichung bringen. Lass uns alle $x$ auf die linke Seite bringen. Dies tun wir indem wir eine Äquivalenzumformung durchführen: Wir subtrahieren auf beiden Seiten der Gleichung “$2x$”:

Wir erhalten somit:

Schritt 2: Summanden/Subtrahenden auf die Seite bringen, wo x NICHT steht 👈

Jetzt haben wir eine normale lineare Gleichung die wir lösen können. Dazu bringen wir zunächst alle Summanden und Subtrahenden auf die Seite, wo $x$ nicht steht

In unserem Beispiel müssen wir die “-27” auf die andere Seite bringen. Dazu addieren wir beide Seiten der Gleichung mit “+27”:

Einfaches ausrechnen ergibt dann:

Schritt 3: Durch den Vorfaktor von x teilen 👈

Jetzt ist unsere Variable $x$ schon fast isoliert, wir können nun beide Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor von $x$, in unserem Fall “8”, teilen und erhalten die Lösung:

Wenn man dies ausrechnet erhält man:

Schritt 4: Probe durchführen 👈

Um sicher zu gehen, dass unsere Lösung auch wirklich stimmt, führen wir im letzten Schritt noch eine Probe durch. Dazu setzen wir unsere Lösung $x=3$ einfach in die ursprüngliche Gleichung $5 \cdot (2x-7) +8 = 2x -3$ ein:

Ausrechnen ergibt $3=3$, was offensichtlich eine wahre Aussage ist. Unsere Lösung ist also korrekt! 👍