Trainingscenter
Mathe Erklärt
👍 Uns unterstützen
Anmelden
Kostenlos Registrieren

Lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen, in denen die Variable mehrfach vorkommt

Linus Haertel·18.10.2022

Was machen, wenn die Variable xx in einer linearen Gleichung mehrfach vorkommt? In diesem Artikel findest du die Antwort und wir zeigen dir Schritt für Schritt, wie du solche Gleichungen locker lösen kannst.

Wenn du noch gar nicht so richtig weißt, was eine lineare Gleichung überhaupt ist, findest du hier eine super Einführung in die Welt der linearen Gleichungen.

Bist du nicht auf der Suche nach Erklärungen sondern nach Aufgaben zum Üben? Dann springe gleich zu unserem Aufgabengenerator und drucke dir kostenlos so viele Übungsblätter als PDF 📃 aus wie du rechnen kannst.

Voraussetzungen zum Lösen von linearen Gleichungen in denen die Variable mehrfach vorkommt - Das solltest du können

Um lineare Gleichungen zu lösen, in der eine Variable mehrfach vorkommt, brauchst du nicht viel Vorwissen. Solltest du mit einem der Themen jedoch noch Schwierigkeiten haben, findest du auf unserer Seite nützliche Informationen dazu und du kannst dir über unseren Aufgabengenerator natürlich kostenlos so viele Übungsaufgaben ausdrucken wie du rechnen kannst.

Dividieren und Multiplizieren im Kopf

Grundschule (3. und 4. Klasse)
  • Um lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen zu können, solltest du sicher beim Dividieren und Multiplizieren im Kopf sein

Bruchrechnung

Weiterführende Schulen (5. Klasse)
  • Du solltest keine Angst vor Bruchrechnung haben, denn Brüche können immer wieder in linearen Gleichungen auftauchen.

Lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen

Weiterführende Schulen (7. Klasse)
  • Bevor du lineare Gleichungen mit Klammern löst, solltest du wissen, wie man einfache lineare Gleichungen löst. Wenn du dir noch nicht ganz sicher bist, wie man einfache lineare Gleichungen löst, findest du hier eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Anleitung.

Lineare Gleichung mit einer Variablen lösen, in der Klammern vorkommen

Weiterführende Schulen (7. Klasse)
  • Dies ist nicht ganz so wichtig, wie dass du normale lineare Gleichungen lösen kannst. Trotzdem kann es bei einigen Aufgaben, wie dem folgenden Beispiel, hilfreich sein, wenn man lineare Gleichungen mit Klammern lösen kann. Wenn du noch einmal schnell dein Wissen auffrischen willst, gibt es hier nützliche Informationen für dich.

Das Kochrezept: Lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen, in denen die Variable mehrfach vorkommt 🚀

Gucken wir uns folgende lineare Gleichung an und versuchen sie nach xx auf zu lösen:

5(2x7)+8=2x3 \begin{aligned} 5 \cdot (2x-7) +8=2x - 3 \end{aligned}

Wir sehen, dass die Variable xx sowohl auf der linken, als auch auf der rechten Seite der Gleichung vorkommt. Trotzdem können wir diese lineare Gleichung lösen!

Schritt 1: Alle x auf eine Seite der Gleichung bringen 👈

Im ersten Schritt versuchen wir alle Terme, die die Variable xx enthalten auf eine Seite der Gleichung zu bringen. Unser Ziel ist es nur noch einen Ausdruck zu haben der xx enthält. Wenn wir dies geschafft haben, bleibt eine ganz normale lineare Gleichung übrig. Diese können wir dann nach dem bekannten Muster lösen.

Die Variable xx taucht auf der linken Seite der Gleichung in einem etwas komplizierterem Ausdruck auf, es bietet sich daher an die Klammer zunächst auszurechnen. Wir erhalten:

Lineare Gleichungen, in der die Variable auf beiden Seiten vorkommt, lösen Schritt 1: Alle x auf eine Seite der Gleichung bringen

Nun können wir alle Terme in denen ein xx vorkommt auf eine Seite der Gleichung bringen. Lass uns alle xx auf die linke Seite bringen. Dies tun wir indem wir eine Äquivalenzumformung durchführen: Wir subtrahieren auf beiden Seiten der Gleichung “2x2x”:

Lineare Gleichungen, in der die Variable auf beiden Seiten vorkommt, lösen Schritt 1: Alle x auf eine Seite der Gleichung bringen

Wir erhalten somit:

Lineare Gleichungen, in der die Variable auf beiden Seiten vorkommt, lösen Schritt 1: Alle x auf eine Seite der Gleichung bringen

Schritt 2: Summanden/Subtrahenden auf die Seite bringen, wo x NICHT steht 👈

Jetzt haben wir eine normale lineare Gleichung die wir lösen können. Dazu bringen wir zunächst alle Summanden und Subtrahenden auf die Seite, wo xx nicht steht

In unserem Beispiel müssen wir die “-27” auf die andere Seite bringen. Dazu addieren wir beide Seiten der Gleichung mit “+27”:

Lineare Gleichungen, in der die Variable auf beiden Seiten vorkommt, lösen Schritt 2: Summanden/Subtrahenden auf die Seite bringen, wo x NICHT steht

Einfaches ausrechnen ergibt dann:

Lineare Gleichungen, in der die Variable auf beiden Seiten vorkommt, lösen Schritt 2: Summanden/Subtrahenden auf die Seite bringen, wo x NICHT steht

Schritt 3: Durch den Vorfaktor von x teilen 👈

Jetzt ist unsere Variable xx schon fast isoliert, wir können nun beide Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor von xx, in unserem Fall “8”, teilen und erhalten die Lösung:

Lineare Gleichungen, in der die Variable auf beiden Seiten vorkommt, lösen Schritt 3: Durch den Vorfaktor wo x teilen

Wenn man dies ausrechnet erhält man:

Lineare Gleichungen, in der die Variable auf beiden Seiten vorkommt, lösen Schritt 3: Durch den Vorfaktor wo x teilen

Schritt 4: Probe durchführen 👈

Um sicher zu gehen, dass unsere Lösung auch wirklich stimmt, führen wir im letzten Schritt noch eine Probe durch. Dazu setzen wir unsere Lösung x=3x=3 einfach in die ursprüngliche Gleichung 5(2x7)+8=2x35 \cdot (2x-7) +8 = 2x -3 ein:

Lineare Gleichungen, in der die Variable auf beiden Seiten vorkommt, lösen Schritt 4: Probe

Ausrechnen ergibt 3=33=3, was offensichtlich eine wahre Aussage ist. Unsere Lösung ist also korrekt! 👍

Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen - Aufgaben mit Lösungen

Falls du gerne das Lösen von linearen Gleichungen mit mehreren Variablen üben möchtest, findest du hier passende Aufgaben zu unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden.

Fragen und Antworten

Mehr zu natürlichen Zahlen

Du suchst detailierte Informationen, wie zum Beispiel alle Teiler oder die Vielfachenmenge, zu einer bestimmten natürlichen Zahl? Dann wirst du hier fündig.