Terme addieren und subtrahieren

Anna Redenius·17.07.2023

Terme addieren und subtrahieren - Erklärung

In der Algebra bedeutet das Addieren und Subtrahieren von Termen, dass wir gleichartige Terme zusammenzählen oder voneinander abziehen. Ein Term kann aus Zahlen und Variablen bestehen, und ‘gleichartige Terme’ sind Terme, die dieselben Variablen mit denselben Exponenten haben. Zum Beispiel sind $4x$ und $6x$ gleichnamig, jedoch nicht $4x$ und $6x^2$ .

Um Terme zu addieren oder zu subtrahieren, fügen wir die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) zusammen oder ziehen sie voneinander ab, während die Variable und ihr Exponent gleich bleiben.

Terme addieren und subtrahieren - Beispiele

Angenommen, wir haben die Terme $3x$ und $5x$ . Da sie gleichartig sind (beide haben die Variable $x$ mit dem Exponenten $1$ ), können wir sie addieren, indem wir ihre Koeffizienten addieren: $3 + 5 = 8$ . Daher ist $3x + 5x = 8x$ .

Haben wir jedoch die Terme $3x$ und $5y$ , so lassen sich diese nicht miteinander verrechnen, da wir nicht die selben Variablen haben.

Wieso das so ist, sieht man leicht, wenn man sich die Variablen als Objekte vorstellt. Wenn man $3$ Äpfel zu $5$ Äpfeln hinzuaddiert, so hat man $8$ Äpfel. Hat man jedoch $3$ Äpfel und $5$ Birnen, so kann man diese nicht weiter zusammenfassen.

Ebenso funktioniert es Terme zu subtrahieren. Wenn wir von $8x$ nun $5x$ abziehen wollen, können wir dies tun und erhalten $8x-5x=3x$ .

Ist unsere Ausgangsgleichung jedoch $8y-5x$ , so können wir dies nicht weiter vereinfachen. Wollen wir von $8$ Birnen $5$ Äpfel abziehen, können wir das ebenso wenig tun.

Terme addieren - verschiedene Exponenten

Warum lassen sich $3x$ und $5x^2$ nicht addieren?
Dies sieht man leicht, wenn man $x^2$ ausschreibt: Das $x^2$ steht eigentlich für $x \cdot x$ .

Wenn wir die Gleichung $3x+5x^2$ anschauen und für $x$ z.B. $x=3$ einsetzen, sehen wir leicht, dass sich die Gleichung verändern würde, würden wir beide x-Terme zusammen ziehen:

\begin{align*} 3x+5x^2= 3 &\cdot 3 + 5 \cdot 3^2= 54 \\ &\neq \\ 8x = 8 &\cdot 3 = 24 \end{align*}

Es ist also wichtig beim Addieren und Subtrahieren nicht nur zu überprüfen, dass es sich um die selbe Variable handelt, sondern auch, das diese den selben Exponenten hat.

Bruchterme addieren und subtrahieren

Um Bruchterme zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. Wenn sie das nicht haben, muss man sie zuerst auf denselben Nenner bringen.
Wollen wir zum Beispiel $\frac{x^2}{x+1}$ und $\frac{2}{x^2+1}$ addieren, gehen wir wie folgt vor:

Zunächst betrachten wir die Nenner $(x+1)$ und $(x^2+1)$ . Hier sehen wir leicht, das wir die dritte Binomische Formel anwenden können. Da $(x+1)(x-1)=x^2+1$ , wissen wir, dass wir den ersten Bruch mit $(x-1)$ erweitern müssen.
Um $\frac{x^2}{x+1}$ mit $(x-1)$ zu erweitern müssen wir sowohl Nenner als auch Zähler mit $(x-1)$ mal nehmen. Wir erhalten den Bruchterm $\frac{x^2(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^3-x^2}{x^2+1}$
Nun können wir beide Terme addieren und erhalten $\frac{x^3+x^2+2}{x^2+1}$

Wurzelterme addieren und subtrahieren

Um Wurzelterme addieren oder subtrahieren zu können, muss es sich um die selbe Wurzel mit dem selben Inhalt handeln, z.B.

\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}=2\sqrt{x^2}

Ist dies nicht der Fall, so können wir die Wurzelterme nicht addieren oder subtrahieren. Dies sieht man leicht, wenn man die Wurzel als Exponent betrachtet:

\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

Wie wir oben gesehen haben, können wir auch nur Terme mit der selben Variable und dem selben Exponenten addieren oder subtrahieren. Dies gilt ebenso für Wurzelterme.

Fragen und Antworten

Was bedeutet das Addieren und Subtrahieren von Termen in der Algebra?

Addieren und Subtrahieren von Termen in der Algebra bedeutet, die Koeffizienten gleichartiger Terme zu addieren oder zu subtrahieren. Gleichartige Terme haben dieselben Variablen und Exponenten.

Wie werden gleichartige Terme addiert oder subtrahiert?

Gleichartige Terme werden addiert oder subtrahiert, indem ihre Koeffizienten addiert oder subtrahiert werden. Die Variablen und ihre Exponenten bleiben dabei unverändert.

Welche gemeinsamen Fehler sollten vermieden werden, wenn man Terme addiert oder subtrahiert?

Ein häufiger Fehler beim Addieren und Subtrahieren von Termen ist der Versuch, ungleichartige Terme zu addieren oder zu subtrahieren. Denke daran, dass nur Terme mit denselben Variablen und Exponenten addiert oder subtrahiert werden können.

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