Terme mit Klammern

Anna Redenius·17.07.2023

Terme mit Klammern - Grundlagen

In der Mathematik sind Terme eine Möglichkeit, numerische Beziehungen oder Ausdrücke darzustellen. Terme können Zahlen, Variablen oder eine Kombination davon enthalten. Terme mit Klammern enthalten Gruppen von Zahlen und/oder Variablen, die durch eine Klammer zusammengefasst sind. Ein Beispiel für einen Term mit Klammern könnte so aussehen: $(2 + x) \cdot 3$ .

Klammern in der Mathematik helfen uns, die Reihenfolge der Ausführung von Operationen zu bestimmen. Das ist die sogenannte Klammerregel, die besagt, dass alles, was in Klammern steht, Vorrang vor anderen Operationen hat.

Ausmultiplizieren - Terme mit Klammer

Das Ausmultiplizieren ist der Prozess, bei dem die Terme innerhalb der Klammer mit denen außerhalb der Klammer multipliziert werden. Die Idee ist, die Klammern zu entfernen und den Term zu vereinfachen.

Betrachten wir unseren vorherigen Term $(2 + x) \cdot 3$ . Unser Ziel ist es, die Klammer zu entfernen. Hierzu multiplizieren wir jede Zahl oder Variable in der Klammer mit der Zahl außerhalb der Klammer. Also, $2 \cdot 3$ und $x \cdot 3$ . Unser vereinfachter Term sieht dann so aus: $6 + 3x$ .

Es ist wichtig zu beachten, dass wir jedes Element innerhalb der Klammer mit jedem Element außerhalb der Klammer multiplizieren müssen.
Wollen wir zum Beispiel $(3+2) \cdot 3$ rechnen, so müssen wir beide Zahlen in der Klammer mit $3$ multiplizieren:

\begin{align*} (3+2) \cdot 3 &= 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15 \\ (3+2) \cdot 3 &= (5) \cdot 3 = 15 \end{align*}

Zur Überprüfung ob wir richtig gerechnet haben, rechnen wir auf zuerst die Klammer. Wir kommen mit beiden wegen zum selben Ergebnis.

Ausmultiplizieren - Terme mit mehreren Klammern

In manchen Situationen haben wir Terme, die mehr als eine Klammer enthalten. In diesem Fall multiplizieren wir jeden Term in der ersten Klammer mit jedem Term in der zweiten Klammer.

Zum Beispiel nehmen wir den Term $(2 + x)(4 + y)$ . Hier multiplizieren wir zuerst $2$ mit $4$ und $y$ , und danach $x$ mit $4$ und $y$ .

\begin{align*} (2 + x)(4 + y)=& 2 \cdot (4+y) + x \cdot (4+y) \\ &= 8 +2y +4x + xy \end{align*}

Das ergibt

8 + 2y + 4x + xy

Genauso gut können wir auch die hintere Klammer auflösen.

\begin{align*} (2 + x)(4 + y)=& (2 + x) \cdot 4 + (2 + x) \cdot y \\ &= 8 +4x +2y + xy \end{align*}

Das ergibt nach umstellen ebenfalls

8 + 2y + 4x + xy

Fragen und Antworten

Warum benutzen wir Klammern in mathematischen Termen?

Klammern werden in der Mathematik verwendet, um die Reihenfolge der Operationen zu bestimmen. Sie stellen sicher, dass die Operationen innerhalb der Klammern zuerst ausgeführt werden. Diese Regel ist ein Teil der Punkt-vor-Strich-Regel und hilft, Klarheit über die Reihenfolge der Berechnungen zu geben und Missverständnisse zu vermeiden.

Was bedeutet es, einen Term mit Klammern zu vereinfachen oder auszumultiplizieren?

Das Vereinfachen oder Ausmultiplizieren eines Terms mit Klammern bedeutet, die Klammer zu entfernen, indem man die Zahlen oder Variablen in der Klammer mit den Zahlen oder Variablen außerhalb der Klammer multipliziert. Zum Beispiel wird der Term

(2 + x) \cdot 3

6 + 3x

Was passiert, wenn ein Term mehrere Klammern enthält?

Wenn ein Term mehrere Klammern enthält, multiplizieren wir jeden Term in der ersten Klammer mit jedem Term in der zweiten Klammer. Nehmen wir zum Beispiel den Term

(2 + x)(4 + y)

, das Ausmultiplizieren ergibt

8 + 2y + 4x + xy

. Es ist wichtig, sicherzustellen, dass jeder Term innerhalb einer Klammer mit jedem Term in den anderen Klammern multipliziert wird.

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