Multiplizieren und Dividieren von Termen

Anna Redenius·19.07.2023

Terme multiplizieren

Das Multiplizieren von Termen ist eine der grundlegenden Operationen in der Mathematik. Nehmen wir als Beispiel die Terme $2x$ und $3x$ . Um diese Terme zu multiplizieren, multiplizierst du die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) miteinander und dann die Variablen:

2x \cdot 3x = 6 \cdot x \cdot x = 6x^2

Du siehst, dass das Resultat ein neuer Term ist, der das Quadrat der Variable enthält. Das ist ein Ergebnis des Distributivgesetzes der Multiplikation.

Wenn du Terme mit mehreren Variablen multiplizierst, zum Beispiel $2xy$ und $3xz$ , musst du jede Variable einzeln betrachten:

2xy \cdot 3xz = 6 \cdot x \cdot y \cdot x \cdot z = 6x^2yz

In diesem Fall haben wir die Variable $x$ mit sich selbst multipliziert, was $x^2$ ergibt, und die Variablen $y$ und $z$ einfach hinten angehängt.

Term 1	Term 2	Ergebnis
$2x$	$3x$	$6x^2$
$2xy$	$3xz$	$6x^2yz$
$5x^2$	$-3x$	$-15x^3$

Terme dividieren

Terme zu dividieren ist ähnlich wie das Multiplizieren, nur dass du diesmal die Koeffizienten teilst und die Variable entsprechend behandelst. Beim Teilen von Termen ist es wichtig zu beachten, dass du nicht durch Null teilen darfst!

Als Beispiel nehmen wir die Terme $6x^2$ und $2x$ . Um diese Terme zu dividieren, teilst du die Koeffizienten miteinander und reduzierst den Exponenten der Variable:

6x^2 : 2x = \frac{6x^2}{2x}= \frac{\cancel{2}\cdot 3 \cancel{x}\cdot x}{\cancel{2}\cancel{x}} = 3x

Wie du siehst, bleibt nach der Division ein einfacher Term mit der Variable $x$ übrig.

Term 1	Term 2	Ergebnis
$6x^2$	$2x$	$3x$
$6x^2yz$	$2xy$	$3xz$
$-15x^3$	$5x^2$	$-3x$
$5x$	$5y$	$\frac{x}{y}$

Bruchterme multiplizieren und dividieren

Bruchterme lassen sich ebenso multiplizieren und dividieren wie normale Brüche.

Für die Multiplikation nimmt man einfach die Zähler und die Nenner separat mal.

\frac{x}{y}\cdot\frac{x}{x^2}=\frac{x\cdot x}{y \cdot x^2}=\frac{x^2}{y\cdot x^2}

Für die Division muss man hier zunächst noch den Kehrwert bilden. Im Anschluss multipliziert man den ersten Bruchterm mit dem Kehrwert des Bruchterms durch den geteilt wird.

\frac{x}{y}:\frac{x}{x^2}=\frac{x}{y}\cdot\frac{x^2}{x}=\frac{x\cdot x^2}{y\cdot x}=\frac{x^3}{yx}

Wurzelterme multiplizieren und dividieren

Wurzelterme verhalten sich genauso wie Terme mit anderen Exponenten. Man kann sie wie gewohnt multiplizieren und dividieren, sollte jedoch auf einige Tricks achten.

Tipp 1:
Multipliziert man eine quadratwurzel mit sich selbst, so ist das Ergebnis der Inhalt der Wurzel.

\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=x^1=x

Tipp 2:
Teilt man einen Term durch seine Quadratwurzel, so ist das Ergebnis wieder die zugehörige Quadratwurzel

x:\sqrt{x}=(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}):\sqrt{x}=\sqrt{x}

Tipp 3:
Die Quadratwurzel von $1$ ist wieder $1$ , d.h.

\sqrt{1} = 1

Tipp 4:
Will man die Wurzel eines Bruches wissen, darf man die Wurzel auch einzeln auf den Nenner und den Zähler anwenden. Verwendet wird hier das Potenzgesetzt für die Division von Zahlen mit der selben Hochzahl.

\sqrt{\frac{1}{y^2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y^2}}=\frac{1}{y}

Fragen und Antworten

Was ist der Unterschied zwischen dem Multiplizieren und Dividieren von Termen?

Beim Multiplizieren von Termen multiplizierst du die Koeffizienten und addierst die Exponenten der Variablen, wenn sie gleich sind. Beim Dividieren von Termen teilst du die Koeffizienten und subtrahierst die Exponenten der Variablen, wenn sie gleich sind.

Wie wendet man das Distributivgesetz beim Multiplizieren und Dividieren von Termen an?

Das Distributivgesetz besagt, dass das Multiplizieren über das Addieren bzw. Subtrahieren “verteilt” werden kann. Beim Multiplizieren von Termen wendet man das Distributivgesetz an, indem man jeden einzelnen Teil des einen Terms mit jedem einzelnen Teil des anderen Terms multipliziert. Beim Dividieren von Termen wird das Distributivgesetz weniger häufig verwendet, es kann aber in bestimmten Situationen nützlich sein, etwa wenn man einen Term durch einen Summenterm teilt.

Welche besonderen Regeln gelten beim Multiplizieren und Dividieren von Termen mit Variablen?

Wenn du Terme mit Variablen multiplizierst, addierst du die Exponenten der Variablen, wenn sie gleich sind. Beim Dividieren von Termen subtrahierst du die Exponenten. Achte immer darauf, dass du nicht durch eine Variable teilst, deren Wert Null sein könnte, da das Teilen durch Null undefiniert (und damit nicht erlaubt) ist!

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