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Teilermengen

Stefan Vickers·09.05.2023
Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl aa nennt man die Teilermenge von aa, oder kurz TaT_a.

Beispiel

Die natürliche Zahl 1212 lässt sich durch die Zahlen 1;2;3;4;61;2;3;4;6 und 1212 ohne Rest teilen. Das bedeutet, 1;2;3;4;61;2;3;4;6 und 1212 sind Teiler der 1212 und lassen sich in der Teilermenge T12={1;2;3;4;6;12}T_{12} = \{1;2;3;4;6;12\} zusammenfassen.

Teilermengen - Übersicht

Abgesehen von der 11 besitzt jede natürliche Zahl aa eine Teilermenge TaT_a mit mindestens zwei Elementen; der 11 und der Zahl aa selbst. Die beiden Teiler 11 und aa nennt man triviale Teiler. Besitzt eine Teilermenge nur diese zwei Elemente, so ist die natürliche Zahl aa eine Primzahl.

  • 13 ist eine Primzahl, da T13={1;13}13 \text{ ist eine Primzahl, da }T_{13} = \{1;13\}

Bei allen anderen nicht-trivialen Teilern spricht man von echten Teilern.
Die Elemente der Teilermenge können zudem in komplementäre Teiler zusammengefasst werden. Dabei sind Teiler dann komplementär zueinander, wenn sich die natürliche Zahl aa aus dem Produkt der komplementären Teiler ergibt.

  • {1;12}\{1;12\} sind komplementäre Teiler, da 112=121\cdot 12 = 12
  • {2;6}\{2;6\} sind komplementäre Teiler, da 26=122\cdot 6 = 12
  • {3;4}\{3;4\} sind komplementäre Teiler, da 34=123\cdot 4 = 12

Die Eigenschaft der komplementären Teiler ist insbesondere für die Bestimmung von Teilermengen hilfreich, wie wir später sehen werden.

Betrachtet man die Teilermengen TaT_a, TbT_b zweier natürlichen Zahlen, so ergeben sich interessante Eigenschaften für das Zahlenpaar (a,b)(a,b). Haben die beiden Mengen, abgesehen von der 11, keinen gemeinsamen Teiler, so sind aa und bb teilerfremd zueinander, oder kurz aba \perp b. Existiert hingegen mindestens ein gemeinsamer Teiler verschieden von 11, so existiert auch ein groesster gemeinsamer Teiler, der für das Rechnen mit Brüchen relevant ist.

Alles was du zu Teilermengen wissen musst, haben wir in diesem Video für dich zusammengefasst. Schau gerne rein, wenn du eine Auffrischung brauchst.

Teilermengen bestimmen

Die Aufgabe, die Teilermenge TaT_a einer natürlichen Zahl aa zu bestimmen, können wir anhand der Definition der Teilermenge abarbeiten, indem wir die Teilbarkeit für jede natürliche Zahl nan \leq a schrittweise prüfen.

Beispiel

Die Teilermenge der 1212 lässt sich wie folgt sukzessive bestimmen:

n Teiler der 12? Begründung
112112\mid 11 ist trivialer Teiler
212212\mid 2Teilbarkeitsregel der 2
312312\mid 3Teilbarkeitsregel der 3
412412\mid 4Teilbarkeitsregel der 4
512512\nmid 5Teilbarkeitsregel der 5
612612\mid 6Teilbarkeitsregel der 6
712712\nmid 712:7=1 Rest 512:7 = 1 \text{ Rest } 5
812812\nmid 8Teilbarkeitsregel der 8
912912\nmid 9Teilbarkeitsregel der 9
10121012\nmid 10Teilbarkeitsregel der 10
11121112\nmid 1112:11=1 Rest 112:11 = 1 \text{ Rest } 1
12121212\mid 1212 ist trivialer Teiler

Aus der Tabelle lässt sich dann T12={1;2;3;4;6;12}T_{12} = \{1;2;3;4;6;12\} einfach ablesen.

Bei diesem Verfahren stellt man jedoch fest, dass es mit größer werdendem aa recht aufwändig ist, alle natürlichen Zahlen n={0;1;2;a}n = \{0;1;2\dots;a\} auf Teilbarkeit zu prüfen. Um sich das Leben leichter zu machen, kann man sich der Eigenschaft der komplementären Teiler zu nutze machen. Wie dieser Trick funktioniert, zeigen wir dir im nächsten Abschnitt.

Du hättest lieber ein Video, das dir genau erklärt, wie man Teilermengen mit einem einfachen Trick bestimmt? Kein Problem:

Teilermengen bestimmen - Trick

Folgende zwei Eigenschaften von Teilern können wir ausnutzen, um diesen Trick zur Bestimmung einer Teilermenge TaT_a anzuwenden

  • Haben wir eine natürliche Zahl t1t_1 gefunden, die Teiler von a ist, so ist auch a:t1=t2a:t_1= t_2 ein Teiler von aa. Das bedeutet für unser Beispiel T12T_{12}: Falls 22 Teiler von 1212 ist, dann ist auch 12:2=612:2 = 6 Teiler von 1212.

Mit folgendem Beispiel können wir den Trick exemplarisch Schritt für Schritt demonstrieren

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Aufgabenstellung

Schritt 1: Bestimme die obere Grenze 👈

Die obere Grenze tmaxt_{max}, bis zu der wir alle natürlichen Zahlen auf Teilbarkeit prüfen müssen, erhalten wir aus der nach unten abgerundeten Wurzel der 44 tmax=44=6t_{max} = \lfloor \sqrt{44} \rfloor = 6.

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Schritt 1: Die obere Grenze bestimmen

Schritt 2: Bestimme die obere Grenze (alternativer Weg) 👈

Falls dir die Wurzel einer Zahl noch nichts sagt, kein Problem. Du kannst die obere Grenze auch bestimmen indem du nach der größten natürlichen Zahl suchst, die mit sich selbst multipliziert gerade noch kleiner ist als 4444 ist.

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Aufgabenstellung - Schritt1: Die obere Grenze bestimmen (Alternativweg)

Schreibe dazu alle Teiler und die entsprechenden Quadratzahlen der Reihe nach beginnend bei der 1 in einer Tabelle. Sobald die erste Quadratzahl größer ist als 4444 hast du die obere Grenze gefunden.

Schritt 3: Schreibe alle Teiler auf 👈

Gehe nun alle Teiler bis zur oberen Grenze aus dem vorherigen Schritt durch und überprüfe auf Teilbarkeit (z.B. mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln).

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Aufgabenstellung - Schritt 3: Die Teiler aufschreiben

Schritt 4: Schreibe komplementäre Teiler auf 👈

Für alle gefunden Teiler kannst du nun in deiner Tabelle die komplementären Teiler dazu schreiben.

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Aufgabenstellung - Schritt 4 - Die komplementären Teiler aufschreiben

Tipp: Schritt 3 und 4 kannst du auch gerne parallel durchführen.

Schritt 5: Teilermenge aufschreiben 👈

Notiere nun im letzten Schritt alle gefunden Teiler indem du dich U-förmig der Tabelle entlang vorarbeitest.

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Aufgabenstellung - Schritt 5: Teiler im letzten Schritt aufschreiben

So erhältst du als Ergebnis die Teilermenge in aufsteigend geordneter Reihenfolge.

Wozu brauche ich das?

Teilermengen spielen insbesondere bei der Bruchrechnung sowie der Primfaktorzerlegung eine wichtige Rolle. Die Aufgaben aus den beiden Themengebiete lassen sich einfacher bewerkstelligen, wenn du dich bereits gut mit Teilermengen auskennst.

Beispiele für Teilermengen

Hier findest du Teilermengen einiger ausgewählter natürlicher Zahlen

Teilermenge Link
T30T_{30}Alle Teiler der 30
T32T_{32}Alle Teiler der 32
T42T_{42}Alle Teiler der 42
T45T_{45}Alle Teiler der 45
T48T_{48}Alle Teiler der 48
T60T_{60}Alle Teiler der 60
T72T_{72}Alle Teiler der 72
T81T_{81}Alle Teiler der 81
T90T_{90}Alle Teiler der 90

Teilermengen - Aufgaben mit Lösungen

Falls du gerne die Bestimmung von Teilermengen üben möchtest, dann hast du hier die Gelegenheit dir entweder bereits fertige Übungsblätter herunterzuladen, in unserem Aufgabengenerator eigene Übungsblätter zusammenzustellen oder direkt mit unserem Trainingscenter zu starten 🚀.

Link zum Aufgabengenerators des Mathekönigs

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