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Teilermengen

Stefan Vickers·24.03.2021
Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl nennt man die Teilermenge von , oder kurz .

Beispiel

Die natürliche Zahl lässt sich durch die Zahlen und ohne Rest teilen. Das bedeutet, und sind Teiler der und lassen sich in der Teilermenge zusammenfassen.

Teilermengen - Übersicht

Abgesehen von der besitzt jede natürliche Zahl eine Teilermenge mit mindestens zwei Elementen; der und der Zahl selbst. Die beiden Teiler und nennt man triviale Teiler. Besitzt eine Teilermenge nur diese zwei Elemente, so ist die natürliche Zahl eine Primzahl.

Bei allen anderen nicht-trivialen Teilern spricht man von echten Teilern.

Die Elemente der Teilermenge können zudem in komplementäre Teiler zusammengefasst werden. Dabei sind Teiler dann komplementär zueinander, wenn sich die natürliche Zahl aus dem Produkt der komplementären Teiler ergibt.

  • sind komplementäre Teiler, da
  • sind komplementäre Teiler, da
  • sind komplementäre Teiler, da

Die Eigenschaft der komplementären Teiler ist insbesondere für die Bestimmung von Teilermengen hilfreich, wie wir später sehen werden.

Betrachtet man die Teilermengen , zweier natürlichen Zahlen, so ergeben sich interessante Eigenschaften für das Zahlenpaar . Haben die beiden Mengen, abgesehen von der , keinen gemeinsamen Teiler, so sind und teilerfremd zueinander, oder kurz . Existiert hingegen mindestens ein gemeinsamer Teiler verschieden von , so existiert auch ein groesster gemeinsamer Teiler, der für das Rechnen mit Brüchen relevant ist.

Alles was du zu Teilermengen wissen musst, haben wir in diesem Video für dich zusammengefasst. Schau gerne rein, wenn du eine Auffrischung brauchst.

Teilermengen bestimmen

Die Aufgabe, die Teilermenge einer natürlichen Zahl zu bestimmen, können wir anhand der Definition der Teilermenge abarbeiten, indem wir die Teilbarkeit für jede natürliche Zahl schrittweise prüfen.

Beispiel

Die Teilermenge der lässt sich wie folgt sukzessive bestimmen:

nTeiler der 12?Begründung
11 ist trivialer Teiler
2Teilbarkeitsregel der 2
3Teilbarkeitsregel der 3
4Teilbarkeitsregel der 4
5Teilbarkeitsregel der 5
6Teilbarkeitsregel der 6
7
8Teilbarkeitsregel der 8
9Teilbarkeitsregel der 9
10Teilbarkeitsregel der 10
11
1212 ist trivialer Teiler

Aus der Tabelle lässt sich dann einfach ablesen.

Bei diesem Verfahren stellt man jedoch fest, dass es mit größer werdendem recht aufwendig ist, alle natürlichen Zahlen auf Teilbarkeit zu prüfen. Um sich das Leben leichter zu machen, kann man sich der Eigenschaft der komplementären Teiler zu nutze machen. Wie dieser Trick funktioniert zeigen wir dir im nächsten Abschnitt.

Du hättest lieber ein Video, dass dir genau erklärt wie man Teilermengen mit einem einfachen Trick bestimmt? Kein Problem:

Teilermengen bestimmen - Trick

Folgende zwei Eigenschaften von Teilern können wir ausnutzen, um diesen Trick zur Bestimmung einer Teilermenge anzuwenden

  • Haben wir eine natürliche Zahl gefunden, die Teiler von a ist, so ist auch ein Teiler von . Das bedeutet für unser Beispiel : Falls Teiler von ist, dann ist auch Teiler von .
  • Da stets ein komplementärer Teiler existiert, müssen wir nicht alle natürlichen Zahlen bis prüfen, sondern es genügt die Prüfung bis zur abgerundeten Wurzel von , sprich . Das bedeutet für das Beispiel : Statt alle Zahlen von bis zu prüfen genügt es alle Zahlen von bis zu prüfen.

Mit folgendem Beispiel können wir den Trick exemplarisch Schritt für Schritt demonstrieren

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Aufgabenstellung

Schritt 1: Bestimme die obere Grenze 👈

Die obere Grenze , bis zu der wir alle natürlichen Zahlen auf Teilbarkeit prüfen müssen, erhalten wir aus der nach unten abgerundeten Wurzel der 44 .

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Schritt 1: Die obere Grenze bestimmen

Schritt 2: Bestimme die obere Grenze (alternativer Weg) 👈

Falls dir die Wurzel einer Zahl noch nichts sagt, kein Problem. Du kannst die obere Grenze auch bestimmen indem du nach der größten natürlichen Zahl suchst, die mit sich selbst multipliziert gerade noch kleiner ist als ist.

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Aufgabenstellung - Schritt1: Die obere Grenze bestimmen (Alternativweg)

Schreibe dazu alle Teiler und die entsprechenden Quadratzahlen der Reihe nach beginnend bei der 1 in einer Tabelle. Sobald die erste Quadratzahl größer ist als hast du die obere Grenze gefunden.

Schritt 3: Schreibe alle Teiler auf 👈

Gehe nun alle Teiler bis zur oberen Grenze aus dem vorherigen Schritt durch und überprüfe auf Teilbarkeit (z.B. mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln).

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Aufgabenstellung - Schritt 3: Die Teiler aufschreiben

Schritt 4: Schreibe komplementäre Teiler auf 👈

Für alle gefunden Teiler kannst du nun in deiner Tabelle die komplementären Teiler dazu schreiben.

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Aufgabenstellung - Schritt 4 - Die komplementären Teiler aufschreiben

Tipp: Schritt 3 und 4 kannst du auch gerne parallel durchführen.

Schritt 5: Teilermenge aufschreiben 👈

Notiere nun im letzten Schritt alle gefunden Teiler indem du dich U-förmig der Tabelle entlang vorarbeitest.

Kochrezept zur Bestimmung der Teilermengen | Trick - Aufgabenstellung - Schritt 5: Teiler im letzten Schritt aufschreiben

So erhältst du als Ergebnis die Teilermenge in aufsteigend geordneter Reihenfolge.

Wozu brauche ich das?

Teilermengen spielen insbesondere bei der Bruchrechnung sowie der Primfaktorzerlegung eine wichtige Rolle. Die Aufgaben aus den beiden Themengebiete lassen sich einfacher bewerkstelligen, wenn du dich bereits gut mit Teilermengen auskennst.

Beispiele für Teilermengen

Hier findest du Teilermengen einiger ausgewählter natürlicher Zahlen

Teilermengen - Aufgaben mit Lösungen

Falls du gerne die Bestimmung von Teilermengen üben möchtest, dann hast du hier die Gelegenheit dir entweder bereits fertige Übungsblätter herunterzuladen, in unserem Aufgabengenerator eigene Übungsblätter zusammenzustellen oder direkt mit unserem Trainingscenter zu starten 🚀.

Hier steht ein erklärender Text zum Bild

Aufgaben-Tool

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Fragen & Antworten