Brüche vollständig kürzen

Anna Redenius·10.08.2023

Ein vollständig gekürzter Bruch hat immer den kleinstmöglichen Zähler und Nenner, mit dem sich dieser Anteil darstellen lässt.
Wenn ein Bruch nicht weiter gekürzt werden kann, nennt man ihn bereits vollständig gekürzt oder auch in seiner Grunddarstellung.

Ein Bruch heißt vollständig gekürzt, wenn man ihn nicht weiter kürzen kann.

Brüche werden vollständig gekürzt, indem der Zähler und der Nenner des Bruchs so weit wie möglich durch die selbe Zahl geteilt werden, bis es keine Zahl verschieden von eins mehr gibt, die beide teilt.

Brüche vollständig kürzen - Beispiel

Die Brüche $\frac{4}{8}$ und $\frac{1}{2}$ stellen beide den selben Anteil am Ganzen dar, sie sind beide ein Halb. Der erste Bruch $\frac{4}{8}$ kann jedoch noch weiter gekürzt werden, er ist also nicht vollständig gekürzt. Teilt man sowohl Nenner als auch Zähler durch $4$ erhält man den zweiten Bruch $\frac{1}{2}$ . Es gibt keine Zahl verschieden von eins, die sowohl Nenner als auch Zähler teilt. Dieser Bruch kann somit nicht weiter gekürzt werden und ist damit ein vollständig gekürzter Bruch.

Brüche vollständig kürzen - Methoden

Manchmal sieht man nicht gleich, ob ein Bruch noch weiter gekürzt werden kann. Mit den folgenden Methoden kannst du sicherstellen, immer einen vollständig gekürzten Bruch zu erhalten.

Vollständig kürzen - Primfaktorzerlegung

Eine Methode, um Brüche vollständig zu kürzen, ist die Primfaktorzerlegung. Wir zerlegen sowohl den Zähler als auch den Nenner in ihre Primfaktoren und kürzen alle gemeinsamen Faktoren heraus. Übrig bleiben nur Produkte von einander verschiedenen Primzahlen. Da Primzahlen nur durch sich selbst und durch eins teilbar sind, gib es somit keine weiteren Zahlen durch die sich Nenner und Zähler teilen lassen. Wir haben den Bruch vollständig gekürzt.

\frac{8}{12}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 2}=\frac{2 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2}}{3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2}}=\frac{2}{3}

Vollständig kürzen - ggT

Eine weitere Methode, um Brüche vollständig zu kürzen, ist die Verwendung des größten gemeinsamen Teilers (ggT). Der ggT von Zähler und Nenner wird berechnet, und beide werden durch diesen Teiler geteilt. Da der ggT, wie der Name schon sagt, die größte Zahl ist, die sowohl Nenner als auch Zähler teilt, lässt sich der daraus resultierende Bruch nicht weiter kürzen. Man erhält somit einen vollständig gekürzten Bruch.

ggt(8, 12) = 4 \qquad \rightarrow \frac{8}{12}=\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} \underset{4}{=}\frac{2}{3}

Kann dieser Bruch weiter gekürzt werden?

Bestimme für die folgenden Brüche jeweils, ob man sie noch weiter kürzen kann:

Ungekürzt	PFZ	ggT	Kürzbar?	Vollständig gekürzt
$\frac{8}{12}$	$\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 2}$	$4$	Ja	$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-$	Nein	$\frac{1}{2}$
$\frac{15}{25}$	$\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5}$	$5$	Ja	$\frac{3}{5}$
$\frac{7}{7}$	$\frac{7}{7}$	$7$	Ja	$\frac{1}{1}$
$\frac{11}{13}$	$\frac{11}{13}$	$-$	Nein	$\frac{11}{13}$
$\frac{6}{9}$	$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3}$	$3$	Ja	$\frac{2}{3}$
$\frac{5}{8}$	$\frac{5}{2\cdot 2\cdot 2}$	$-$	Nein	$\frac{5}{8}$
$\frac{7}{12}$	$\frac{7}{2 \cdot 2 \cdot 3}$	$-$	Nein	$\frac{7}{12}$

In der Tabelle sehen wir einige Beispiele für Brüche, die bereits vollständig gekürzt sind oder noch weiter gekürzt werden können. Du kannst sehen, dass Brüche, bei denen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler haben, bereits vollständig gekürzt sind.

Fragen und Antworten

Warum ist das vollständige Kürzen von Brüchen wichtig?

Das vollständige Kürzen ermöglicht es uns, Brüche auf ihre einfachste Form zu reduzieren, was sie übersichtlicher und leichter handhabbar macht. Es hilft auch, Brüche zu vergleichen und bei Rechenoperationen effizienter zu arbeiten.

Welche Methoden gibt es, um Brüche vollständig zu kürzen?

Die zwei Hauptmethoden sind die Primfaktorzerlegung und die Verwendung des größten gemeinsamen Teilers (ggT). Beide Methoden führen zum vollständig gekürzten Bruch.

Woran erkennt man, dass ein Bruch bereits vollständig gekürzt ist?

Ein Bruch ist bereits vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben. In diesem Fall gibt es keine weitere Möglichkeit, den Bruch zu vereinfachen.

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101-120

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Brüche vollständig kürzen - Beispiel