Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Anna Redenius·30.09.2023

Brüche und Dezimalzahlen sind zwei wichtige Arten, um Zahlen in der Mathematik darzustellen. Manchmal ist es aber nützlich, Brüche in Dezimalzahlen umzurechnen. Grade mit periodischen Dezimalzahlen lässt es sich schwer Rechnen, oft schleichen sich dadurch Rundungsfehler ein, die man mit der Darstellung als Bruch vermieden hätte.

Vorteile der Darstellung als Bruch

Ein Bruch stellt immer das Verhältnis von Teilen zu einem Ganzen dar. Dies kann besonders nützlich sein, um Teile eines Ganzen in klarer und einfacher Weise zu visualisieren. Brüche erlauben es uns, genau anzugeben, wie viele Teile eines Ganzen vorhanden sind, was in vielen Situationen, wie beim Teilen von Gegenständen oder bei Rezepten, praktisch ist.

Des Weiteren bieten Brüche eine genauere Darstellung bei bestimmten Berechnungen. Manchmal führt die Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl zu endlichen Dezimalstellen, manchmal jedoch zu periodischen Dezimalstellen, die schwer zu handhaben sein können. In solchen Fällen ist die Bruchdarstellung oft präziser und weniger anfällig für Rundungsfehler.

direkter Bezug zum Ganzen: Durch Brüche lässt sich direkt der Bezug zum Ganzen visualisieren. Bei dem Bruch $\frac{1}{8}$ ist sofort klar, dass es sich um den achten Teil von etwas handelt. Bei der Dezimalzahl $0,125$ ist dies ohne Übung nicht direkt ersichtlich.
keine Rundungsfehler: Grade bei Brüchen, die periodische Dezimalzahlen ergeben würden, können wir durch das Rechnen in Bruchform Rechen- und Rundungsfehler umgehen.
Anschaulicher: Auch für Brüche gibt es Alltagsbeispiele, für die wir es gewohnt sind diese in der Bruchform anzugeben. Bei einem viertel Liter Milch ist dir sofort klar, was gemeint ist, wohingegen $250$ ml Milch erstmal ungewohnt klingt.

Anleitung zur Umwandlung

Manchmal möchten wir Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, um genaue Verhältnisse darzustellen. Hierbei unterscheiden wir zwischen abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen.

Abbrechende Dezimalzahlen

Abbrechende Dezimalzahlen haben keine periodischen Stellen. Um sie in einen Bruch umzuwandeln, folge diesen Schritten:

Schritt 1: Betrachte die Dezimalzahl, zum Beispiel $0,375$ . Zähle die Nachkomma Stellen, hier sind es $3$ .
Schritt 2: Bestimme den Zähler. In den Zähler kommen alle Zahlen nach dem Komma, hier also $375$ .
Schritt 3: Bestimme den Nenner. Schreibe in den Nenner eine $1$ und hänge so viele Nullen an, wie du Nachkommastellen hast. Hier sind es $3$ Nachkommastellen, dein Nenner ist damit $1000$ .
Schritt 4: Schreibe den vollständigen Bruch auf, hier also $\frac{375}{1000}$ .

Das Ergebnis ist $0,375 = \frac{375}{1000}$ .

Reinperiodische Dezimalzahlen

Reinperiodische Dezimalzahlen haben nur periodischen Stellen, es wiederholen sich somit alle Nachkomma stellen. Um sie in einen Bruch umzuwandeln, folge diesen Schritten:

Schritt 1: Betrachte die Dezimalzahl, zum Beispiel $2,\overline{36}$ . Ignoriere zunächst die Zahl vor dem Komma.
Schritt 2: Zähle die Anzahl der Dezimalstellen in der Periode. In diesem Fall sind es $2$ sich wiederholende Dezimalstellen.
Schritt 3: Schreibe die sich wiederholenden Dezimalzahl in den Zähler. In den Nenner schreibst du so viele Neunen, wie du Stellen in der Periode hast, in diesem Fall also zwei, also $99$ .
Schritt 4: Betrachte dein Zwischenergebnis $0,\overline{36} = \frac{36}{99}$ .
Schritt 5: Addiere nun die Zahl vor dem Komma dazu
$2+\frac{36}{99}=\frac{198}{99}+\frac{36}{99}=\frac{234}{99}$

Dein Ergebnis ist $\frac{234}{99}$ .

Optional kannst du den Ergebnisbruch auch noch kürzen, falls gefordert. Hier kannst du mit 9 kürzen und erhältst $\frac{26}{11}$ .

Gemischtperiodische Dezimalzahlen

Bei Gemischtperiodischen Dezimalzahlen sieht das ganze etwas schwieriger aus. Um sie in einen Bruch umzuwandeln, folge diesen Schritten:

Schritt 1: Betrachte die Dezimalzahl, zum Beispiel $0,1\overline{6}$ .
Schritt 2: Zähle die Anzahl der nicht periodischen Nachkomma stellen, in diesem Falle $1$ .
Schritt 3: Multipliziere mit $10$ , wobei du so viele Nullen anhängst wie du nicht periodische Nachkommastellen hast. (Bei $3$ nicht periodischen Nachkommastellen multiplizierst du also mit $1000$ )
Schritt 3: Schreibe deine Neue Zahl auf, in diesem Falle $1,\overline{6}$ . Nun hast du eine Reinperiodische Dezimalzahl und kannst diese wie oben umrechnen.
Schritt 4: Den so Erhaltenen Bruch, hier $\frac{10}{6}$ musst du nun noch durch die Zahl aus Schritt 2 teilen. Hier also durch $10$ (hättest du $3$ nicht periodischen Nachkommastellen also durch $1000$ ). Man rechnet also $\frac{10}{6}:10=\frac{1}{6}$ .

Das Ergebnis ist $0,1\overline{6} = \frac{1}{6}$ .

Fragen und Antworten

Warum sollte ich Dezimalzahlen in Brüche umwandeln?

Die Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche ermöglicht eine präzisere Darstellung und verhindert Rundungsfehler.

Welche Dezimalzahlen sind am einfachsten in Brüche umzuwandeln?

Abbrechende Dezimalzahlen sind am einfachsten in Brüche umzuwandeln, da man hier nur Zehnerpotenzen in den Nenner schreiben muss.

Wie wandle ich eine reinperiodische Dezimalzahl ohne Ganzzahligen Anteil in einen Bruch um?

Man zählt die periodischen Nachkommastellen und schreibt genauso viele neunen in den Nenner. Man schreibt die periodischen Nachkommastellen in den Zähler. Nun kann man falls möglich noch kürzen.

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