Dezimalzahlen Vergleichen

Bevor wir in die Details eintauchen, lassen uns kurz die Definition auffrischen: Dezimalzahlen oder auch Kommazahlen sind Zahlen, die nicht als ganze Zahl dargestellt werden können. Sie besitzen Stellen nach dem Komma, die nicht Null sind. Sie werden häufig verwendet, um Brüche zu repräsentieren. Beispiele für Dezimalzahlen sind $0,5$ und $0,12$ und $0,\overline{3}$.

Abbrechende Dezimalzahlen vergleichen

Das Vergleichen von abbrechenden Dezimalzahlen ist relativ einfach. Du beginnst, indem du die Zahlen von links nach rechts vergleichst. Die Zahl, die zuerst eine größere Ziffer hat, ist die größere Dezimalzahl. Hat eine Zahl mehr Nachkommastellen als die Andere, so füllst du die fehlenden Stellen mit Nullen auf.

Beispiel: Vergleiche $0,135$ mit $0,138$

Damit ist $0,135$ kleiner als $0,138$.

Beispiel: Vergleiche $0,237$ mit $0,2378$

Die Zahl $0,2378$ hat eine Nachkommastelle mehr als $0,237$. Ergänze $0,237$ mit $0$ also $0,2370$.

Damit ist $0,237$ kleiner als $0,2378$.

Periodische Dezimalzahlen vergleichen

Periodische Dezimalzahlen sind unendlich lang. Aber auch hier kann man nacheinander die Zahlen vergleichen, wenn man weiß wie!

Schritt 1: Vergleiche die Zahlen vor dem Komma

Will man die Zahlen $4,\overline{3}$ und $5,25$ vergleichen, so muss man sich über die Nachkommastellen gar keine Gedanken mehr machen. Alles hinter dem Komma ist immer kleiner als eins. Da $4 < 5$ ist die zweite Zahl immer größer, egal was für Zahlen nach dem Komma stehen.

Schritt 2: Ziffern vor der Periode vergleichen

Hast du gemischtperiodische Dezimalzahlen, so musst du dich eventuell gar nicht mit der Periode beschäftigen.
Schau dir die Ziffern vor der Wiederholungsperiode an. Vergleiche diese Ziffern bei beiden Zahlen. Die Zahl mit der größeren Ziffer vor der Periode ist auch die größere Zahl.

Vergleichst du die Zahlen $0,12\overline{5}$ und $0,3\overline{8}$, so kannst du direkt sehen, dass die zweite Zahl größer ist, da $1 < 3$. Somit ist $0,12\overline{5} < 0,3\overline{8}$.

Schritt 3: Die Perioden sind gleich lang

Haben beide Zahlen gleich viele sich wiederholende Stellen, so kannst du diese direkt mit einander vergleichen.

Betrachtest du z.B. $0,\overline{123}$ und $0,\overline{135}$, so kannst du die sich wiederholenden Stellen direkt vergleichen. Da $ 123 < 135$ folgt, dass die zweite Zahl größer ist, also $0,\overline{123} < 0,\overline{135}$.

Schritt 4: Die Periode ausschreiben

Wenn die sich wiederholenden Zahlenfolgen nicht gleichlang sind, musst du sie ausschreiben. Anschließend kannst du die Zahlen wie gewohnt nacheinander vergleichen.

Vergleicht man $0,\overline{3}$ mit $0,\overline{325}$, so muss man die erste Zahl erweitern. Der Strich über der Periode stehe dafür, dass diese unendlich oft wiederholt wird. Somit ist $0,\overline{3}=0,333333...$ und $0,\overline{325}=0,325325325...$. Vergleicht man die Zahlen nun stellenweise, sehen wir, dass die zweite Zahl an zweite Stelle kleiner ist.
Da $2 < 3$ folgt dass $ 0,333… < 0,325…$ und damit $0,\overline{3} < 0,\overline{325}$.

Abbrechende mit periodischen Dezimalzahlen vergleichen

Will man nun abbrechende Dezimalzahlen mit periodischen Dezimalzahlen vergleichen, so schreibt man die periodische Dezimalzahl wieder aus, bis sie so lang ist wie die nicht periodische Dezimalzahl. Im Anschluss vergleicht man wie gewohnt. Wir wenden also das Verfahren für periodische Dezimalzahlen an.

Betrachte $0,\overline{6}$ und $0,643$. Schreibt man die erste Zahl aus, erhält man $0,666...$. An zweiter Stelle steht bei der ersten Zahl eine $6$, bei der zweiten jedoch nur eine $4$. Damit ist die erste Zahl größer, es gilt $0,\overline{6}= 0,666... > 0,643$.

Wenn nun die periodische Dezimalzahl mehr Nachkommastellen hat, als die abbrechende, so füllen wir diese mit Nullen auf.

Wollen wir $0,\overline{123}$ vergleichen mit $0,12$, so können wir an die zweite Zahl eine Null hinten anhängen. Wir erhalten $0,120$. Die dritte Stelle der ersten Zahl ist somit größer als die der zweiten Zahl.
Da $3 > 0$ folgt $0\overline{123} > 0,120$.

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