Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Brüche und Dezimalzahlen sind zwei wichtige Arten, um Zahlen in der Mathematik darzustellen. Manchmal ist es aber nützlich, Brüche in Dezimalzahlen umzurechnen. Das ist besonders hilfreich, wenn du mit Messungen oder Geldbeträgen arbeitest. Das Umrechnen macht Rechnungen einfacher und es ermöglicht uns, Zahlen besser zu vergleichen, ohne die Brüche erst gleichnamig machen zu müssen. Dafür ist es wichtig zu lernen, wie man zwischen diesen beiden Arten der Darstellung wechselt.

Vorteile der Darstellung als Dezimalzahl

Dezimalzahlen sind besonders nützlich, wenn du präzise Messungen oder Berechnungen durchführen möchtest. Viele Angaben sind in Dezimalzahlen anschaulicher, wie z.B. die Länge eines Objekts in Metern oder die Menge einer Zutat in Gramm. Außerdem sind Dezimalzahlen oft in Geldbeträgen und wissenschaftlichen Notationen anzutreffen.

• Addieren und Subtrahieren: Dezimalzahlen lassen sich direkt Addieren und Subtrahieren, sie müssen nicht erst gleichnamig gemacht werden.
• Vergleichen: Dezimalzahlen lassen sich direkt mit einander Vergleichen, ohne das man sich über den Nenner Gedanken machen muss.
• Anschaulicher: Im Alltag sind wir oft schon an Dezimalzahlen gewöhnt. Ist Jemand $1,75$ Meter groß, weißt du sofort ob du größer oder kleiner bist. Verwendet man jedoch den Ausdruck $1 \frac{3}{4}$ Meter, so musst du deine Größe wahrscheinlich erst umrechnen, da es ungewohnt ist seine Größe als gemischten Bruch zu kennen.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Anleitung

Um Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, teilen wir den Zähler durch den Nenner mittels schriftlicher Division. Hierbei müssen wir zwei Fälle unterscheiden, die abbrechenden und die periodischen Dezimalzahlen.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Abbrechende Dezimalzahlen

Eine abbrechende Dezimalzahl ist eine, die nach einigen Dezimalstellen aufhört. Hier sehen wir beim Schriftlichen Rechnen, dass sich die letzte Zahl restlos durch den Nenner teilen lässt.

$$\begin{array}{ccccc} 3 & : & 4 & = & 0,75 \\ \hline 3 & 0 &&&\\ 2 & 8 &&&\\ \hline & 2 & 0 && \\ & 2 & 0 && \\ \end{array}$$

Die letzte Zahl $20$ lässt sich Restlos durch $4$ teilen, die Dezimalzahl bricht an dieser Stelle ab.
Das Ergebnis lautet $\frac{3}{4}=0,75$.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Periodische Dezimalzahlen

Eine periodische Dezimalzahl wiederholt eine oder mehrere Ziffern unendlich. Es gibt zwei Arten von periodischen Dezimalzahlen: reine und gemischte.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Reinperiodische Dezimalzahl

Bei einer reinperiodischen Dezimalzahl gehört die erste Nachkommastelle mit zur Periode, sie gehört also zu der Zahlenfolge, die unendlich oft nach dem Komma wiederholt wird.

Eine reinperiodische Dezimalzahl ergibt z.B. der Bruch $\frac{1}{3}$.

Da sich hier in jedem Schritt der schriftlichen Division der selbe Rest ergibt, wird auch immer die selbe Zahl als Kommazahl an das Ergebnis angehängt. Die $3$ nach dem Komma wiederholt sich bis ins Unendliche.
Das Ergebnis lautet $\frac{1}{3}=0,\bar{3}$.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Gemischtperiodische Dezimalzahl

Bei einer gemischtperiodischen Dezimalzahl gehört die erste Nachkommastelle nicht mit zur Periode, sie wird somit nicht mit wiederholt. Bei komplizierteren Brüchen können noch einige Zahlen zwischen dem Komma und der Periode auftreten. Deshalb ist es wichtig Brüche schriftlich in Dezimalzahlen umwandeln zu können, da man nicht bei allen Taschenrechnern direkt sieht, ob es sich um eine abbrechende Dezimalzahl handelt, oder um eine gerundete periodische Dezimalzahl.

Eine gemischtperiodische Dezimalzahl ergibt z.B. der Bruch $\frac{1}{12}$.

Hier führt die letzte Division immer wieder auf den selben Rest, so dass sich die $3$ bis ins unendliche wiederholt. Die beiden ersten Zahlen nach dem Komma, hier $0$ und $8$, wiederholen sich jedoch nicht.
Das Ergebnis lautet $\frac{1}{12}=0,08\bar{3}$.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Runden

Manchmal soll man einen Bruch nur mit einer gewissen Anzahl an Nachkomma stellen darstellen. Hierzu rechnet man eine Stelle mehr aus als man braucht und rundet damit die letzte Stelle.
Man Rundet:

• auf: wenn die zusätzliche Stelle größer oder gleich fünf ist
• ab: wenn die zusätzliche Stelle kleiner als fünf ist

Soll man also den Bruch aus dem letzten Beispiel als Dezimalzahl mit $4$ Nachkomma stellen angeben, so rechnet man bis zur fünften Nachkomma stelle. Da die fünfte Stelle eine drei ist, rundet man die vierte Stelle ab.

$$\frac{1}{12}=0,08333...\approx 0,0833$$

Das Ergebnis ist $\frac{1}{12}\approx 0,0833$.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Kochrezept

Hier haben wir die Schritte zur Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl nochmal zusammen gefasst.

• Schritt 1: Teile den Zähler durch den Nenner mit schriftlicher Division
• Schritt 2: Achte auf der Rest bei der Division. Ist dieser Null, sind wir fertig und haben eine abbrechende Dezimalzahl. Wiederholt sich dieser periodisch nach einigen Schritten, haben wir eine periodische Dezimalzahl
• Schritt 3: Sollst du die Dezimalzahl runden, rechne eine Stelle mehr aus als du brauchst. Runde dann mit der letzten Stelle die vorletzte.

Bruch in Dezimalzahl umwandeln - Beispiele

Manchmal kann es nützlich sein häufige Brüche und ihre dezimalen Counterparts auswendig zu lernen. Aber keine sorge, mit der Zeit erkennst du diese Paare ganz automatisch.

Bruch	Dezimalzahl	periodisch
$\frac{1}{2}$	$0.5$	Nein
$\frac{1}{3}$	$0.\bar{3}$	Ja
$\frac{2}{3}$	$0.\bar{6}$	Ja
$\frac{1}{4}$	$0.25$	Nein
$\frac{3}{4}$	$0.75$	Nein

Fragen und Antworten

Wie kann ich eine Dezimalzahl auf- oder abrunden?

Um eine Dezimalzahl aufzurunden, schaue dir die nächste Ziffer rechts von der gewünschten Stelle an. Ist sie 5 oder größer, rundest du auf. Andernfalls rundest du ab. Zum Beispiel, um $1,346$ auf zwei Dezimalstellen aufzurunden, wird es zu $1,35$.

Wie kann ich beim Rechnen erkennen ob ich eine periodische Dezimalzahl erhalte?

Überprüfe den Rest der Division. Ist dieser gleich oder tritt in der selben Reihenfolge auf, so hast du eine periodische Dezimalzahl und kannst die Rechnung beenden.

Wie erkenne ich eine abbrechende Dezimalzahl?

Du erhälts bei der schriftlichen Division irgendwann den Rest Null. Damit ist deine Rechnung zuende und die Dezimalzahl bricht ab.

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